Lemma DBR in Lp

[FabioC]

Non riesco a trovare una dimostrazione del lemma DBR se \(f \in L^p\). Un aiutino?

[Massimo Gobbino]

Uhm, non mi è chiaro che cosa non ti è chiaro ... Cosa non funziona nella dimostrazione per approssimazione?

[FabioC]

Che non posso mandare le approssimanti a \(f + c\) perchè in generale non so se \((f + c)^2\) è integrabile.
Se invece approssimo \((f+c)^{p-1}\) mi salta che sia a media nulla.

[Massimo Gobbino]

Se invece approssimo \((f+c)^{p-1}\) mi salta che sia a media nulla.

Beh, ma la costante \(c\) è nostra amica, quindi la possiamo scegliere in modo da annullare la media che ci serve.

P.S. Ad essere precisi la funzione da approssimare è \(|f(x)-c|^{p-1}\operatorname{sign}(f(x)-c)\). E volendo essere puntigliosi occorrerebbe verificare che il \(c\) esiste ...

[FabioC]

Eh, appunto, non mi sembra(va) per nulla evidente che la c opportuna esistesse. Grazie

[Massimo Gobbino]

non mi sembra(va)

Ora è chiaro perché la costante esiste?

[FabioC]

Sì, l'integrale della funzione da approssimare è continuo rispetto a c per convergenza dominata e ha limite più o meno infinito per c grande o piccola. Giusto?
(c'è qualche cosa da sistemare nel caso p=1, ma si aggiusta anche in quel caso)

[Massimo Gobbino]

Sì, l'integrale della funzione da approssimare è continuo rispetto a c per convergenza dominata e ha limite più o meno infinito per c grande o piccola. Giusto?

(c'è qualche cosa da sistemare nel caso p=1, ma si aggiusta anche in quel caso)

Giusto, perché con il solo segno si perde la continuità in \(c\). Ma con una bella \(\arctan(f(x)-c)\) l'effetto è lo stesso .

[Massimo Gobbino]

E se \(f\) stesse solo in \(L^{1}_{loc}\)?