Minimum problems + infinito

[Carmine]

Nell'esercizio 3, nel punto c) non manca forse una frazione [tex]1/2[/tex]? D'altronde che il minimo sia proprio quello mi sembra improbabile, visto che la funzione non può avere derivata quasi ovunque nulla e non essere costantemente nulla (ma nulla al bordo).

E già che ci siamo, un hint piccolo piccolo sul punto e)? Non so proprio da dove partire... poi [tex]C^{1,\alpha}[/tex] si intende che sia funzione che derivata devono essere [tex]$\alpha$[/tex]-holderiane o solo la derivata? Perchè io conosco una definizione di norma in quello spazio, che però è tipo la somma della norma [tex]C^1[/tex] più la norma [tex]C^{0,\alpha}[/tex] della derivata... mah!

[Massimo Gobbino]

Nel (3c) ci sarà di sicuro una costante che non va. Dimmi qual è quella giusta così correggo .

Sulla definizione di [tex]C^{1,\alpha}[/tex] mi verrebbe da dire : se la derivata è holderiana, la funzione è molto meglio, quindi certamente basta la derivata! In altre parole: è lo spazio delle funzioni derivabili con derivata holderiana di ordine alpha. La norma poi non ci interessa (qui).

Come si dimostra che una funzione è tot-holderiana? Analisi 1 che passione (ad esempio lezione 112 dell'anno scorso)!

[Carmine]

Nella (3c) il minimo è la metà di quello che è scritto...

[machete]

Confermo il fattore [tex]1/2[/tex] nel punto (3c), e sostengo che nel (3e) si riesca a mostrare agilmente che [tex]u_0\ \in C^{1,1/3}[/tex]; per esempio scrivendo la Eulero in forma integrale, si ricava che [tex]\dot{u}_0[/tex] è continua e [tex]\dot{u_0}^3[/tex] è lipschitziana che basta per concludere... Forse che si riesce a fare di meglio?

[Massimo Gobbino]

sostengo che nel (3e) si riesca a mostrare agilmente che [tex]u_0\ \in C^{1,1/3}[/tex]; per esempio scrivendo la Eulero in forma integrale, si ricava che [tex]\dot{u}_0[/tex] è continua e [tex]\dot{u_0}^3[/tex] è lipschitziana che basta per concludere...

Esatto

Forse che si riesce a fare di meglio?

No. Il minimizer avrà il massimo in un punto [tex]x_0\in(0,1)[/tex] in cui assume un valore positivo. Ora dico che

[tex]\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\dot{u}(x_0+h)-\dot{u}(x_0)}{\sqrt[3]{h}}[/tex]

è un numero positivo, il che basta per concludere che non si può fare di meglio. Da cosa segue il limite? Ci si riduce subito a

[tex]\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\dot{u}^3(x_0+h)}{h}[/tex]

e questo si fa con De L'Hopital, alla faccia di chi ad analisi 1 va ripetendo che serve a poco o nulla