Integrali: esercizio teorico
Posted: Wednesday 22 August 2012, 13:51
Gentile Professore, ho un altro problema teorico ....
Sia [tex]f:[1;+\infty)\to \mathbb{R}[/tex] una funzione tale che:
[tex]\displaystyle f(1) =1 \qquad f^\prime(x) =\frac{1}{x^2+f^2(x)}[/tex] (derivata prima [edit: ho corretto la notazione])
Provare che esiste finito il limite
[tex]\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)[/tex]
io ho fatto questo ragionamento qui:
La funzione [tex]f(x)[/tex] è monotona crescente, in quanto la sua derivata prima è sempre maggiore di zero:
[tex]\displaystyle f^\prime(x) =\frac{1}{x^2+f^2(x)}>0,\qquad \forall \,\, x\in \mathbb{R},;[/tex]
e dunque, per [tex]x \to +\infty,[/tex] ammetterà certamente limite, in particolare se la funzione risulta limitata allora questo limite sarà un numero reale, cioè sarà finito. Si tratta quindi di dimostrare che la funzione [tex]f(x)[/tex] è limitata superiormente, cioè che esiste un numero [tex]M[/tex] tale che:
[tex]|f (x)| <M,[/tex] in particolare, essendo monotona crescente [tex]f (x) <M.[/tex]
Allora, preso ad arbitrio un generico punto [tex]y\in [1;+\infty)[/tex] avremo, per la monotonia di [tex]f[/tex] che:
[tex]\displaystyle f(y) >f(1) =1\quad \forall \,\, y>1,\,\,\,\, \text{da cui }\,\,\,\,\frac{1}{f(y)}<1[/tex]
e dunque :
[tex]\displaystyle f^\prime(y) =\frac{1}{y^2+f^2(y)}<\frac{1}{y^2+1}[/tex]
Essendo monotona, la funzione risulta Reimann integrabile in ogni intervallo chiuso e limitato di [tex][1;+\infty),[/tex] e dunque integrando ambo i membri , otteniamo:
[tex]\displaystyle \int _1^{x}f^\prime(y)\,\,dy =\int _1^{x}\frac{1}{y^2+f^2(y)}\,\,dy <\int _1^{x}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy[/tex]
[tex]\displaystyle \left[f (y)\right]_1^{x} <\int _1^{x}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy[/tex]
[tex]\displaystyle f (x)- f (1) = f (x)- 1 <\int _1^{x}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy[/tex]
evidentemete, detto un pò alla buona, l'area della funzione integranda dell'ultimo integrale sarà certamente minore dell area della stessa funzione, positiva, sull'intervalllo più grande [tex][1;+\infty),[/tex] e allora possiamo maggiorarla con:
[tex]\displaystyle f (x)- f (1) <\int _1^{x}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy <\int _1^{+\infty}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy[/tex]
e dunque:
[tex]\displaystyle f (x)- f (1) <\int _1^{+\infty}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy[/tex][tex]\displaystyle= \lim_{k \to +\infty}\left[\arctan y\right]_1^{k}=\lim_{k \to +\infty} (\arctan k-\arctan 1)[/tex]
[tex]\displaystyle f (x)-1 &<\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}[/tex]
[tex]\displaystyle f (x) &<1+\frac{\pi}{4}[/tex]
Detto [tex]\displaystyle M=1+\frac{\pi}{4},[/tex] abbiamo che la funzione risulta superiormente limitata, e dunque essendo monotona crescente tederà al proprio estremo superiore che risuta essere finito; dunque
[tex]\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x)=L<1+\frac{\pi}{4}\in\mathbb{R}[/tex]
Sia [tex]f:[1;+\infty)\to \mathbb{R}[/tex] una funzione tale che:
[tex]\displaystyle f(1) =1 \qquad f^\prime(x) =\frac{1}{x^2+f^2(x)}[/tex] (derivata prima [edit: ho corretto la notazione])
Provare che esiste finito il limite
[tex]\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)[/tex]
io ho fatto questo ragionamento qui:
La funzione [tex]f(x)[/tex] è monotona crescente, in quanto la sua derivata prima è sempre maggiore di zero:
[tex]\displaystyle f^\prime(x) =\frac{1}{x^2+f^2(x)}>0,\qquad \forall \,\, x\in \mathbb{R},;[/tex]
e dunque, per [tex]x \to +\infty,[/tex] ammetterà certamente limite, in particolare se la funzione risulta limitata allora questo limite sarà un numero reale, cioè sarà finito. Si tratta quindi di dimostrare che la funzione [tex]f(x)[/tex] è limitata superiormente, cioè che esiste un numero [tex]M[/tex] tale che:
[tex]|f (x)| <M,[/tex] in particolare, essendo monotona crescente [tex]f (x) <M.[/tex]
Allora, preso ad arbitrio un generico punto [tex]y\in [1;+\infty)[/tex] avremo, per la monotonia di [tex]f[/tex] che:
[tex]\displaystyle f(y) >f(1) =1\quad \forall \,\, y>1,\,\,\,\, \text{da cui }\,\,\,\,\frac{1}{f(y)}<1[/tex]
e dunque :
[tex]\displaystyle f^\prime(y) =\frac{1}{y^2+f^2(y)}<\frac{1}{y^2+1}[/tex]
Essendo monotona, la funzione risulta Reimann integrabile in ogni intervallo chiuso e limitato di [tex][1;+\infty),[/tex] e dunque integrando ambo i membri , otteniamo:
[tex]\displaystyle \int _1^{x}f^\prime(y)\,\,dy =\int _1^{x}\frac{1}{y^2+f^2(y)}\,\,dy <\int _1^{x}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy[/tex]
[tex]\displaystyle \left[f (y)\right]_1^{x} <\int _1^{x}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy[/tex]
[tex]\displaystyle f (x)- f (1) = f (x)- 1 <\int _1^{x}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy[/tex]
evidentemete, detto un pò alla buona, l'area della funzione integranda dell'ultimo integrale sarà certamente minore dell area della stessa funzione, positiva, sull'intervalllo più grande [tex][1;+\infty),[/tex] e allora possiamo maggiorarla con:
[tex]\displaystyle f (x)- f (1) <\int _1^{x}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy <\int _1^{+\infty}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy[/tex]
e dunque:
[tex]\displaystyle f (x)- f (1) <\int _1^{+\infty}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy[/tex][tex]\displaystyle= \lim_{k \to +\infty}\left[\arctan y\right]_1^{k}=\lim_{k \to +\infty} (\arctan k-\arctan 1)[/tex]
[tex]\displaystyle f (x)-1 &<\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}[/tex]
[tex]\displaystyle f (x) &<1+\frac{\pi}{4}[/tex]
Detto [tex]\displaystyle M=1+\frac{\pi}{4},[/tex] abbiamo che la funzione risulta superiormente limitata, e dunque essendo monotona crescente tederà al proprio estremo superiore che risuta essere finito; dunque
[tex]\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x)=L<1+\frac{\pi}{4}\in\mathbb{R}[/tex]
