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Si discuta la convergenza dell'integrale improprio

[tex]\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\sin x^2-\sin^2x}{ x^{ \alpha }\sqrt{\left|\ln x\right|}}\,\,dx[/tex]

La funzione integranda è definita [tex]\forall x>0,x\not=1,[/tex]infatti:

[tex]\begin{cases}
x^{ \alpha }\not=0 &\to\forall x\not=0,x>0 \\
\sqrt{\left|\ln x\right|}\not=0 &\to \left|\ln x\right|\not=0\to x\not=1 \\
\left|\ln x\right|>0 &\to\forall x\in\mathbb{R}, x >0 \\
\end{cases}[/tex]

ed è sempre positiva in [tex][0; 1],[/tex]

[tex]\begin{cases}
\sin x^2-\sin^2x >0 &\to\forall x\in[0;1] \\
x^{ \alpha}>0 &\to\forall x\in[0;1]\\
\sqrt{\left|\ln x\right|}>0&\to\forall x\in\mathbb{R}
\end{cases}[/tex]


possiamo quindi considerare il confronto asintotico:


[tex]x\to0^+[/tex]


[tex]\displaystyle \frac{\sin x^2-\sin^2x}{ x^{ \alpha }\sqrt{\left|\ln x\right|}} \stackrel{\bf (T)}{\sim}\frac{ x^2-\frac{ x^6}{3!}-\left( x -\frac{ x^3}{3!}\right) ^2 }{ x^{ \alpha }\sqrt{\left|\ln x\right|}} =[/tex][tex]\displaystyle\frac{ x^2-\frac{ x^6}{3!}- x^2-\frac{ x^6}{36}+ \frac{ x^4}{3} }{ x^{ \alpha }\sqrt{\left|\ln x\right|}}=[/tex][tex]\displaystyle\frac{ x^4}{ 3x^{ \alpha }\sqrt{\left|\ln x\right|}} =\frac{ 1}{ 3x^{ \alpha-4 } \left|\ln x\right|^{\frac{1}{2}} }[/tex]

[tex]\text{converge se }\,\,\,\,\alpha-4<1\to\alpha<5[/tex]


[tex]x\to1^-[/tex]


[tex]\displaystyle\frac{\sin x^2-\sin^2x}{ x^{ \alpha }\sqrt{\left|\ln x\right|}} \to\frac{\sin 1-(\sin1)^2}{ 1^{ \alpha }\sqrt{\left|\ln 1\right|}}[/tex] =[tex]\displaystyle\frac{C}{0}= +\infty[/tex]

[tex]\text{essendo \,\,\,$\sin x^2-\sin^2x>0$}[/tex]


dunque si conclude che l'integrale non converge;

Questo non va molto bene

Per quanto riguarda il problema a 0, la risposta è corretta, ma non si può ignorare impunemente il logaritmo come hai fatto tu.

Per quanto riguarda il problema in 1, è concettualmente sbagliato. Il fatto che quel limite venga +infinito dice semplicemente che l'integrale è improprio, non che diverge!!!

Massimo Gobbino wrote:Questo non va molto bene

Per quanto riguarda il problema a 0, la risposta è corretta, ma non si può ignorare impunemente il logaritmo come hai fatto tu.

non ho ignorato il logaritmo ... se [tex]\alpha>5[/tex] abbiamo una serie di Abel che converge indipendentemente dall'andamento del logaritmo....

Massimo Gobbino wrote:Per quanto riguarda il problema in 1, è concettualmente sbagliato. Il fatto che quel limite venga +infinito dice semplicemente che l'integrale è improprio, non che diverge!!!

si l'integrale è improrio in entrambi gli estremi di integrazione, non esistendo in tali punti la funzione integranda; l'integrale diverge nell'intervallo [tex](0,1)[/tex]

poiche converge nel punto [tex]x=0[/tex] se [tex]\alpha>5[/tex] e diverge in [tex]1[/tex] indipendentemente dal valore di [tex]\alpha[/tex] quindi nell'intevallo di integrazione ""l'area"" sotto la curva in ogni caso risulta infinita, in quel senso intendevo l'integrale diverge...

Noisemaker wrote:abbiamo una serie di Abel che converge indipendentemente dall'andamento del logaritmo....

Cos'è una serie di Abel? E cosa c'entra con la convergenza di un integrale improprio?

Noisemaker wrote: si l'integrale è improrio in entrambi gli estremi di integrazione, non esistendo in tali punti la funzione integranda;

Questa è una frase che purtroppo si sente dire molte volte, ma non vuol dire nulla. Non è il fatto che una funzione non sia definita in un punto a rendere improprio un integrale.

Noisemaker wrote: e diverge in [tex]1[/tex] indipendentemente dal valore di [tex]\alpha[/tex]

Questa è la parte di cui non ho capito il motivo.

Massimo Gobbino wrote:

Noisemaker wrote: si l'integrale è improrio in entrambi gli estremi di integrazione, non esistendo in tali punti la funzione integranda;

Questa è una frase che purtroppo si sente dire molte volte, ma non vuol dire nulla. Non è il fatto che una funzione non sia definita in un punto a rendere improprio un integrale.

...una funzione LIMITATA è integrabile (secondo Reimann) ma una funzione non limitata non è in generale integrabile, e quindi si parla di integrale generalizzato(improrio); una funzione [tex]f:(0;1)\to \mathbb{R}[/tex] non è in generale limitata, ad esempio, nel nostro caso, quando [tex]x\to 1[/tex] la funzione risulta illimitata superiormete, in tal caso si valuta il limite per [tex]x\to 1[/tex] e se tale limite è finito allora la funzione è integraile (in senso improrio) nell' intervallo; se il limite è infinito la funzione non è dotata di integrale, nemeno in senso mprorio

Noisemaker wrote:una funzione [tex]f:(0;1)\to \mathbb{R}[/tex] non è in generale limitata, ad esempio, nel nostro caso, quando [tex]x\to 1[/tex] la funzione risulta illimitata superiormete, in tal caso si valuta il limite per [tex]x\to 1[/tex] e se tale limite è finito allora la funzione è integraile (in senso improrio) nell' intervallo; se il limite è infinito la funzione non è dotata di integrale, nemeno in senso mprorio

Spero che questa definizione bizzarra sia un effetto del gran caldo!

...sarà il caldo ..