integrali improprio

[db89]

l'integrale improprio tra 1 e +00 di (e^x)/((e^2x)-2 in dx come si risolve?

[Massimo Gobbino]

Per la convergenza basta confrontare con e^{-x}, per calcolare il valore non resta che fare la primitiva per sostituzione.

[Noisemaker]

l'integrale improprio tra 1 e +00 di (e^x)/((e^2x)-2 in dx come si risolve?

[tex]\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{e^x}{e^{2x}-2}[/tex]

anzitutto si osseva che la funzione integranda risulta definita per ogni [tex]\displaystyle x\not=\frac{\ln2}{2}<1[/tex] e positiva per [tex]\displaystyle x>\frac{\ln2}{2}[/tex] e negativa per [tex]\displaystyle x<\frac{\ln2}{2}[/tex], quindi si ha singolarità solo a [tex]+\infty[/tex], essendo appunto [tex]\displaystyle \frac{\ln2}{2}<1[/tex] e quindi fuori dall' intervallo di integrazione; inoltre in [tex][1,+\infty)[/tex] la funzione integranda risulta positiva e si puo quindi considerare il comportamento asintotico:

-[tex]x\to +\infty[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{e^x}{e^{2x}-2}\sim \frac{e^x}{e^{2x} }= \frac{1}{e^{ x} }\to[/tex]converge

se poi si vuole valutare il valore dell'area, si ha che posto:

[tex]\displaystyle e^x=t\to x=\ln t \to dx=\frac{1}{t} dt[/tex], l'integrale diviene:

[tex]\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{e^x}{e^{2x}-2}\to \int\frac{t}{t^{2 }-2}\cdot \frac{1}{t} dt=\int\frac{dt}{t^{2 }-2}[/tex][tex]\displaystyle=\int\frac{dt}{(t -\sqrt2)(t+\sqrt2)}[/tex][tex]\displaystyle=\int\frac{A}{t -\sqrt2}dt+\int\frac{B}{t+\sqrt2} dt=A\ln|t-\sqrt2|+B\ln|t+\sqrt2|[/tex]

[tex]\displaystyle=A\ln|e^x-\sqrt2|+B\ln|e^x+\sqrt2|[/tex] [tex]\displaystyle= \frac{1}{2\sqrt2}}\ln|e^x-\sqrt2|- \frac{1}{2\sqrt2}\ln|e^x+\sqrt2|[/tex] [tex]\displaystyle=\frac{1}{2\sqrt2}\ln\Big|\frac{e^x-\sqrt2}{e^x+\sqrt2}\Big|[/tex]

dove:[tex]\displaystyle A=\frac{1}{2\sqrt2}\quad B=-\frac{1}{2\sqrt2}[/tex]

Allora

[tex]\displaystyle \Big[\frac{1}{2\sqrt2}\ln\Big|\frac{e^x-\sqrt2}{e^x+\sqrt2}\Big|\Big]_{1}^{+\infty}=\Big[\frac{1}{2\sqrt2}\ln\frac{e^x-\sqrt2}{e^x+\sqrt2}\Big]_{1}^{+\infty}[/tex] [tex]=\displaystyle 0-\Big(\frac{1}{2\sqrt2}\ln\frac{e-\sqrt2}{e+\sqrt2}\Big)\sim 0.4[/tex]

[Massimo Gobbino]

Ad essere formali non bisogna "sostituire +infinito", ma fare il limite come nella definizione di integrale improprio.

[Noisemaker]

Ad essere formali non bisogna "sostituire +infinito", ma fare il limite come nella definizione di integrale improprio.

si effettivamente è giusto, ho scritto direttamente il risultato del limite ....

[tex]\displaystyle \Big[\frac{1}{2\sqrt2}\ln\Big|\frac{e^x-\sqrt2}{e^x+\sqrt2}\Big|\Big]_{1}^{+\infty}=[/tex] [tex]\displaystyle\Big[\frac{1}{2\sqrt2}\ln\frac{e^x-\sqrt2}{e^x+\sqrt2}\Big]_{1}^{+\infty}=[/tex] [tex]\displaystyle \left(\lim_{k \to +\infty} \frac{1}{2\sqrt2}\ln\frac{e^k-\sqrt2}{e^k+\sqrt2}\right) - \frac{1}{2\sqrt2}\ln\frac{e-\sqrt2}{e+\sqrt2}=[/tex] [tex]\displaystyle0- \frac{1}{2\sqrt2}\ln\frac{e-\sqrt2}{e+\sqrt2}\sim 0.4[/tex]