Integrale improprio e dubbi

[polvere]

\(\displaystyle\int_{1}^{\pi^2} \frac{1}{\sin(\sqrt{x})}\, dx\)

Mi servirebbe una mano a formalizzare questo integrale. Credo di aver chiaro come si comporti (nel caso [0,1] l'ho fatto) ma non riesco a capire bene come dovrei gestire i cambiamenti e i confronti con estremi differenti da quelli più "standard".

Domanda separata: se io ho un integrale improprio (sempre da studiare con i vari criteri) e nell'intervallo in cui devo vedere il suo comportamento vedo che è sempre negativo, come studio formalmente il suo comportamento ? In brutal mode ci sono, ma ho dubbi sulla formalizzazione. In particolare mi interessa il caso in cui l'integrale diverge a - infinito. Altrimenti si va di assoluta convergenza immagino. I dubbi sono in particolare sul come rapportarsi con il confronto asintotico che richiede nelle ipotesi la positività di entrambe le funzioni.

Grazie in anticipo

[GIMUSI]

\(\int_{1}^{\pi^2} {1\over{sin(\sqrt{x})}}\, dx\)

Mi servirebbe una mano a formalizzare questo integrale. Credo di aver chiaro come si comporti (nel caso [0,1] l'ho fatto) ma non riesco a capire bene come dovrei gestire i cambiamenti e i confronti con estremi differenti da quelli più "standard".
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ci si dovrebbe ricondurre a forme più comode osservando che:

\(\sin(\sqrt{x})=\sin(\pi-\sqrt{x})\)

e sostituendo:

\(\pi-\sqrt{x}=t\)

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Domanda separata: se io ho un integrale improprio (sempre da studiare con i vari criteri) e nell'intervallo in cui devo vedere il suo comportamento vedo che è sempre negativo, come studio formalmente il suo comportamento ? In brutal mode ci sono, ma ho dubbi sulla formalizzazione. In particolare mi interessa il caso in cui l'integrale diverge a - infinito. Altrimenti si va di assoluta convergenza immagino. I dubbi sono in particolare sul come rapportarsi con il confronto asintotico che richiede nelle ipotesi la positività di entrambe le funzioni.
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per applicare il confronto asintotico la cosa importante è che le funzioni non cambino segno vicino al problema, possono essere entrambe negative o anche discordi volendo; con un meno davanti ci si può sempre ricondurre al caso standard

[polvere]

Grazie!