Integrale improprio

[Valerio]

Buongiorno a tutti, qualcuno sa come risolvere questo integrale improprio con doppio problema in 0 e π? Il calcolo della primitiva non è difficile ma una volta giunti a sostituire gli estremi ( dopo aver spezzato il campo d'integrazione tra 0 e π/2 e tra π/2 e π ad esempio) non riesco a concluderlo. Qualche suggerimento?

[Federico.M]

Ciao Valerio, l'esercizio che proponi è solo apparentemente un integrale improprio, in quanto che la funzione integranda è limitata sia per x che tende a zero, sia per x che tende π, assumendo in entrambi i casi il valore 0.
Per quanto riguarda il calcolo della primitiva, anche io ho ottenuto lo stesso risultato eccezion fatta per l'ultimo termine che mi viene con il segno opposto, cioè + cos(x).
Essendo infine la funzione integranda simmetrica rispetto all'asse x = π/2 ( si può vedere anche studiandola e tracciandone il grafico), è sufficiente calcolare l'integrale tra 0 e π/2 e poi moltiplicare per 2. Si tratta, in ultima analisi, di calcolare un limite per la variabile che tende a 0, il quale, dopo opportuni ma semplici sviluppi di Taylor, dà come risultato

ln(2) – 1

quindi, complessivamente, l'integrale proposto assume il valore di ln(4) – 2.

Allego successivamente lo svolgimento dell'esercizio.

[Valerio]

Gentilissimo. Grazie Federico