Dominio di un'integrale

[Valerio]

Sia f(x) la funzione integrale

\(f(x)= \displaystyle∫_0^x g(t)\, dt\)

Come ne calcolo il dominio?

[Massimo Gobbino]

Beh, detta così la domanda è davvero troppo vaga. Dipende tutto da dove è definita g, e dalla sua eventuale continuità e/o limitatezza.

Se g è definita e continua ovunque, allora chiaramente f(x) è definita per ogni x reale.

Se g è definita e continua su un intervallo (a,b) con a<0<b, allora f(x) è definita per lo meno nello stesso intervallo (a,b). Per vedere se è definita pure in x=a oppure x=b si tratta di andare a studiare i corrispondenti integrali, che magari risultano impropri.

Insomma, dipende dalla situazione ...

[Valerio]

Per colmare la troppa vaghezza della mia domanda, se ad esempio abbiamo:

\(f(x)= \displaystyle\int_0^x \frac{t}{1-t^3}\, dt\)

Quello che si deve fare è studiare il campo di definizione di \(t/(1-t^3)\), che risulta essere R \ {1}. Una volta fatto questo come bisognerebbe procedere operativamente?

[Massimo Gobbino]

Beh, per x negativi non ci sono problemi (l'integrale è proprio), quindi la funzione è ben definita. Stesso discorso per x<1. Per x=1 l'integrale diventa improprio e divergente, quindi male. Per x>1 ancora peggio: l'integrale è improprio con due problemi che tra l'altro fanno +infinito e -infinito, quindi è indeterminato.

Conclusione: la funzione è definita solo per x<1.