Dimostrazione?

[g.spinelli]

Ciao a tutti! Volevo chiedervi, se mi trovo di fronte ad un integrale improprio e con le sostituzioni arrivo ad un numero, posso dire che l'integrale iniziale converge a quel numero? o solo che SE converge allora converge a tale numero? ad esempio io ho

\(\displaystyle \int_1^2\frac{1}{x^2}\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}dx\)

allora noto che in 1 non è definita, ma me ne "frego" e pongo \(\displaystyle t = \frac{1}{x}\) dunque \(\displaystyle dt = - \frac{1}{x^2}\) a questo punto dopo un po' di sistemazioni mi ritrovo con

\(\displaystyle \int_{1/2}^1\sqrt{\frac{1+t}{1-t}}dt = \displaystyle \int_{1/2}^1{\frac{1+t}{\sqrt{1-t^2}}} dt = \left[\arcsin(t) - \sqrt{1-t^2}\right]_{1/2}^1 = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\)

posso dunque dire che l'integrale converge a \(\displaystyle \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\) o posso solo dire che SE converge allora converge a quel valore?

[Massimo Gobbino]

Beh, se te ne vuoi fregare un po' meno basta che integri tra \(1+\varepsilon\) e 2, poi fai le sostituzioni che ti pare e infine passi al limite. In questo modo ottieni lo stesso risultato in tutta sicurezza.

Il tuo modo di procedere utilizza sostanzialmente una formula per il cambio di variabili negli integrali impropri, che sotto opportune ipotesi vale come per quelli propri (e si dimostra proprio usando la definizione con gli epsilon).

[g.spinelli]

Grazie mille!