Difficoltà integrale definito

[g.spinelli]

Ciao ragazzi, qualcuno può aiutarmi con il calcolo di questo integrale?

[tex]\int_{0}^{\sqrt{2}} {x^{2}\sqrt{2-x^{2}}dx[/tex]

ho provato per parti ma niente, allora ho pensato alla sostituzione [tex]\sqrt{(\sqrt{2}-x)(\sqrt{2}+x)} = (\sqrt{2}-x)y[/tex]
e riesco ad arrivare ad un integrale polinomiale senza radici ma al denominatore ho una molteplicità 7, che mi poterebbe a dover fare dei calcoli troppo esagerati secondo me per un banale esercizio, sono abbastanza sicuro che infondo ai calcoli ci si arrivi e funzioni, ma credo sia una via tortuosa e sono abbastanza sicuro che ce ne sia un'altra, qualcuno che la scorge? xD

[Carmine]

Beh, quella radice dovrebbe farti accendere la lampadina della sostituzione goniometrica

Facciamo che inizio io, te lo sistemo un po', e poi concludi tu. Dunque, poniamo [tex]x=\sqrt{2}y[/tex]. Si ottiene allora il seguente integrale:

[tex]\displaystyle \int_0^1 2y^2\sqrt{2-2y^2} \sqrt{2} \ dy[/tex]
[tex]\displaystyle 4 \int_0^1 y^2\sqrt{1-y^2} \ dy[/tex]

E ora che sostituzione puoi fare per concludere? Ricorda la relazione fondamentale della goniometria... dai ora è facile

[g.spinelli]

che scemo è vero! pongo ad esempio [tex]y = sin(t)[/tex] dunque [tex]dy = cos(t) dt[/tex] ora l'integrale diventa
[tex]4\int_{}{}{sin^{2}(t)cos^{2}(t)[/tex] a questo punto [tex]sin^{2}(t)=1-cos^{2}(t)[/tex] e da li vado avanti...giusto?

[Carmine]

Eeeeeesatto