Domanda sull'integrale indefinito

[Ghedda]

Indicando con \(\int f(x)\,dx\) l'insieme di tutte le primitive di \(f\), è vero che

\(\int f(x)\,dx-\int f(x)\,dx =c\) ?

Credo di sì, visto che

\(\int f(x)\,dx-\int f(x)\,dx= \int [f(x)-f(x)]\,dx= \int 0\, dx=c\).

Il dubbio viene dal fatto che in alcuni esercizi sull'integrazione per parti che ho avuto modo di leggere in un testo delle scuole superiori si procede come segue

\(\int e^x \cos x\,dx=e^x(\sin x + \cos x)-\int e^x\cos x\,dx\)

e quindi sommando a primo e secondo membro\( \int e^x\cos x\,dx \) si ottiene

\(2\int e^x \cos x\,dx=e^x(\sin x + \cos x)\)

uguaglianza che ritengo sbagliata, visto che non è un insieme di funzioni (manca la \(c\) a secondo membro).

[Ghedda]

Nessuno risponde? Forse ho scritto delle cavolate
Mi piacerebbe sentire la vostra opinione.
Grazie comunque

[Massimo Gobbino]

Rispondo io.

Indicando con \(\int f(x)\,dx\) l'insieme di tutte le primitive di \(f\), è vero che

\(\int f(x)\,dx-\int f(x)\,dx =c\) ?

NI, perché dipende da dove è definita f(x). Per maggiori dettagli su questa faccenda invito a fare riferimento alla discussione che c'è nelle lezioni di Analisi 1 dei vari anni, ad esempio alla Lezione 58 di AM1_17.

\(2\int e^x \cos x\,dx=e^x(\sin x + \cos x)\)

uguaglianza che ritengo sbagliata, visto che non è un insieme di funzioni (manca la \(c\) a secondo membro).

Se pensiamo all'integrale indefinito come l'insieme di tutte le primitive, questa uguaglianza è sbagliata perché giustamente ci vorrebbe il famigerato +c.

[Ghedda]

Indicando con \(\int f(x)\,dx\) l'insieme di tutte le primitive di \(f\), è vero che

\(\int f(x)\,dx-\int f(x)\,dx =c\) ?

NI, perché dipende da dove è definita f(x). Per maggiori dettagli su questa faccenda invito a fare riferimento alla discussione che c'è nelle lezioni di Analisi 1 dei vari anni, ad esempio alla Lezione 58 di AM1_17.

Grazie per la risposta.
Ok, ma se la funzione f(x) è continua come nell'esempio proposto l'uguaglianza \(\int f(x)\,dx-\int f(x)\,dx =c\) dovrebbe essere vera.

[Massimo Gobbino]

Ok, ma se la funzione f(x) è continua come nell'esempio proposto l'uguaglianza \(\int f(x)\,dx-\int f(x)\,dx =c\) dovrebbe essere vera.

Dipende continua dove. Se è continua su tutta la retta reale SI. Ma se l'insieme in cui è continua è fatto da almeno 2 pezzi, come nel caso di 1/x, allora NO. Ecco spiegato il NI.

[Ghedda]

Sì, grazie avevo capito

[Ghedda]

Quindi, i passaggi giusti nell'esempio proposto dovrebbero essere questi.

\(\int e^x \cos x\,dx=e^x(\sin x + \cos x)-\int e^x\cos x\,dx\)

sommando a primo e secondo membro\( \int e^x\cos x\,dx \) si ottiene

\(\int e^x \cos x\,dx+\int e^x\cos x\,dx=e^x(\sin x + \cos x)-\int e^x\cos x\,dx+\int e^x\cos x\,dx\)

\(2\int e^x \cos x\,dx=e^x(\sin x + \cos x)+c\).

Questo mi lascia sorpreso perchè non valgono le regole normali delle equazioni. In fin dei conti c'era da aspettarselo visto che si considera un insieme di funzioni, cioè un integrale indefinito.

[Massimo Gobbino]

Proprio così. In fondo con gli o piccolo è la stessa cosa.

[Ghedda]

Grazie mille per la disponibilità