Forum Studenti

Questi sono i testi dei compitini dell' a.a. 2015/2016

allego lo svolgimento dei compitini 2015-2016

[EDIT] le revisioni recepiscono le osservazioni della Prof.ssa Ghisi

[EDIT] le revisioni 02 recepiscono le ulteriori osservazioni della Prof.ssa Ghisi

Per quanto riguarda la soluzione del primo compitino:

- nel secondo esercizio: la stima sulla funzione \(f\) e il fatto che si annulli solo nell'origine vanno dimostrati;

- nel terzo esercizio il fatto che l'insieme è limitato va giustificato (anche solo con un disegno...). Inoltre l'insieme di taglio è una circonferenza nel piano \(xz\), dove la funzione vale \(x+z\), quindi si può anche trattare più semplicemente senza ricorrere a due moltiplicatori.

Per quanto riguarda la soluzione del secondo compitino:

- il primo esercizio non è corretto: l'insieme su cui integrare è \(1\leq x \leq e\), \(x^8 \leq y \leq x^9\).

Per quanto riguarda la soluzione del terzo compitino:

- nel primo esercizio tutta la superficie è una superficie di rotazione, quindi si può fare più velocemente (senza passare dalle superfici cartesiane).

grazie per i commenti e correzioni...ho revisionato lo svolgimento dei tre compitini

ghisi wrote:Per quanto riguarda la soluzione del primo compitino:

- nel secondo esercizio: la stima sulla funzione \(f\) e il fatto che si annulli solo nell'origine vanno dimostrati;

- nel terzo esercizio il fatto che l'insieme è limitato va giustificato (anche solo con un disegno...). Inoltre l'insieme di taglio è una circonferenza nel piano \(xz\), dove la funzione vale \(x+z\), quindi si può anche trattare più semplicemente senza ricorrere a due moltiplicatori.

ho provato a dettagliare meglio i passaggi incriminati, spero così sia sufficientemente giustificato

ghisi wrote:...
Per quanto riguarda la soluzione del secondo compitino:

- il primo esercizio non è corretto: l'insieme su cui integrare è \(1\leq x \leq e\), \(x^8 \leq y \leq x^9\).

questo era proprio sbagliato di brutto...spero ora vada meglio

PS l'insieme su cui integrare dovrebbe essere: \(1\leq x \leq e^{9/8}\), \(x^8 \leq y \leq x^9\)

ghisi wrote:...
Per quanto riguarda la soluzione del terzo compitino:

- nel primo esercizio tutta la superficie è una superficie di rotazione, quindi si può fare più velocemente (senza passare dalle superfici cartesiane).

così va molto meglio eh...come monito ho lasciato nella revisione anche il metodo poco furbo

GIMUSI wrote:

ghisi wrote:Per quanto riguarda la soluzione del primo compitino:

- nel secondo esercizio: la stima sulla funzione \(f\) e il fatto che si annulli solo nell'origine vanno dimostrati;

ho provato a dettagliare meglio i passaggi incriminati, spero così sia sufficientemente giustificato

No, non sai se \(x \geq 0\), anzi il problema è proprio dove è negativo quindi la radice di \(x\) non la puoi scrivere!

GIMUSI wrote:

ghisi wrote: Per quanto riguarda la soluzione del secondo compitino:

- il primo esercizio non è corretto: l'insieme su cui integrare è \(1\leq x \leq e\), \(x^8 \leq y \leq x^9\).

questo era proprio sbagliato di brutto...spero ora vada meglio

PS l'insieme su cui integrare dovrebbe essere: \(1\leq x \leq e^{9/8}\), \(x^8 \leq y \leq x^9\)

No, nell'insieme deve essere \(x^9 \leq e^9\) quindi \(x\leq e\). Il disegno dell'insieme è sbagliato.

ghisi wrote:...
No, non sai se \(x \geq 0\), anzi il problema è proprio dove è negativo quindi la radice di \(x\) non la puoi scrivere!

quindi non è corretto neppure distinguendo i due casi \(x \geq 0\) e \(x \leq 0\)?

dovevo precisare qualcosa che ho dato per scontato? tipo continuità, weierstrass generalizzato

GIMUSI wrote:

ghisi wrote:...
No, non sai se \(x \geq 0\), anzi il problema è proprio dove è negativo quindi la radice di \(x\) non la puoi scrivere!

quindi non è corretto neppure distinguendo i due casi \(x \geq 0\) e \(x \leq 0\)?

dovevo precisare qualcosa che ho dato per scontato? tipo continuità, weierstrass generalizzato

Nel caso di \(x < 0\) otterresti la differenza di due quadrati. Il fatto è che hai fatto il raccoglimento sbagliato.

ecco ora dovrebbe essere tutto a posto...spero

non mi è ancora chiaro tuttavia perché il procedimento precedente per il secondo esercizio del primo compitino non fosse corretto; se si mostra che sia per le x positive sia per quelle negative posso scrivere la funzione come somma di quadrati:

per \(x \geq 0 \: f(x,y)=x^2+y^4+xy^2 = (x-y^2)^2+3xy^2 \geq 0\) con \(f(x,y)=0 \Leftrightarrow \: x=y=0\)

per \(x \leq 0 f(x,y)=x^2+y^4+xy^2 = (x+y^2)^2-xy^2 \geq 0\) con \(f(x,y)=0 \Leftrightarrow \: x=y=0\)

non posso concludere allo stesso modo che f ha minimo in x=y=0?

GIMUSI wrote:ecco ora dovrebbe essere tutto a posto...spero

non mi è ancora chiaro tuttavia perché il procedimento precedente per il secondo esercizio del primo compitino non fosse corretto; se si mostra che sia per le x positive sia per quelle negative posso scrivere la funzione come somma di quadrati:

per \(x \geq 0 \: f(x,y)=x^2+y^4+xy^2 = (x-y^2)^2+3xy^2 \geq 0\) con \(f(x,y)=0 \Leftrightarrow \: x=y=0\)

per \(x \leq 0 f(x,y)=x^2+y^4+xy^2 = (x+y^2)^2-xy^2 \geq 0\) con \(f(x,y)=0 \Leftrightarrow \: x=y=0\)

non posso concludere allo stesso modo che f ha minimo in x=y=0?

Si così va bene, non avevo visto che nella versione precedente c'erano due casi distinti.

ghisi wrote:...
Si così va bene, non avevo visto che nella versione precedente c'erano due casi distinti.

bene! temevo mi si fosse completamente obnubilata la ragione

la ringrazio molto per la pazienza e la grande disponibilità nel fornire ogni volta i necessari chiarimenti