Sottospazi vettoriali 3

[crumiro]

Qualcuno che ha svolto gli esercizi "Sottospazi vettorial 3" , in particolari il seguente esercizio (il terzultimo di pag 30)
Spazio vettoriale R(4);
v1: (0,0,1,1)
v2: (0,1,1,0)
v3: (1,1,0,0)
w1: (1,1,1,1)
w2: (2,0,-2,0)

saprebbe spiegarmi , una volta calcolate la dimensione dello span V ( = 3) e dello span W (= 2), come trovo la dimensione dell'intersezione?
Applico la formula di Grassman, ma la dimensione ( v + w) è = 4 o può essere anche minore?
Grazie in anticipo

[GIMUSI]

e se li "gaussizzi" in un unica matrice, determini il rango = dim(V+W) e da questa con grassmann la dim dell'intersezione?

[Massimo Gobbino]

Esatto, il punto fondamentale è che quei 5 vettori, insieme, sono un sistema di generatori per V+W. In altre parole, V+W è lo Span di quei 5 vettori. Ovviamente non è detta che siano linearmente indipendenti insieme, anche se i primi 3 da soli lo sono e gli ultimi 2 da soli lo sono. Per determinare la dimensione non resta quindi che trovare un sottoinsieme massimale che sia linearmente indipendente oppure, in maniera più evoluta, fare il rango come suggerito da GIMUSI.

[e.rapuano]

Va bene anche se trovo prima la dimensione del sottospazio intersezione (dato che si tratta di un piano e uno spazio che si intersecano in un piano) e successivamente calcolo la dimensione di (V+W) ?

[Massimo Gobbino]

Ma come la trovi la dimensione dell'intersezione?

[e.rapuano]

Avevo creato dei parametri e scritto le "equazioni parametriche" rispettivamente dello spazio e del piano in R4 individuati dai vettori v1,v2,v3,w1 e w2...in altri termini:
t(0,0,1,1) + s(0,1,1,0) +r(1,1,0,0) che diventava (r,s+r,t+s,t) e poi
v(1,1,1,1) + w(2,0,-2,0) che diventava (v+2w,v,v-2w,v)
alla fine ho eguagliato a 2 a 2 queste "coordinate" e ho ottenuto un sistema: ho pensato che trovando un unica soluzione avrei avuto il punto d'intersezione, con un solo parametro libero ci sarebbe stata una retta e con 2 parametri liberi (com'è uscito) nell'intersezione si sarebbe avuto un piano.
So che forse è un ragionamento campato in aria...ma mi sembrava filasse....

[GIMUSI]

Avevo creato dei parametri e scritto le "equazioni parametriche" rispettivamente dello spazio e del piano in R4 individuati dai vettori v1,v2,v3,w1 e w2...in altri termini:
t(0,0,1,1) + s(0,1,1,0) +r(1,1,0,0) che diventava (r,s+r,t+s,t) e poi
v(1,1,1,1) + w(2,0,-2,0) che diventava (v+2w,v,v-2w,v)
alla fine ho eguagliato a 2 a 2 queste "coordinate" e ho ottenuto un sistema: ho pensato che trovando un unica soluzione avrei avuto il punto d'intersezione, con un solo parametro libero ci sarebbe stata una retta e con 2 parametri liberi (com'è uscito) nell'intersezione si sarebbe avuto un piano.
So che forse è un ragionamento campato in aria...ma mi sembrava filasse....

il procedimento mi pare corretto...tuttavia avendo già i sottospazi in forma di vettori credo che in questo caso sia più semplice e rapido mettere i 5 vettori colonna in una matrice e applicare gauss...in questo modo si ottengono subito tutte le informazioni necessarie su dimensioni e basi

[Massimo Gobbino]

Concordo. In generale è facile trovare le dimensioni di V, W e V+W (basta "gaussizzare" opportune matrici o andare di D-rango). È anche abbastanza semplice produrre basi degli stessi spazi (basta interpretare bene quello che si è fatto con Gauss o andare a cercare i minori giusti se si è andati di D-rango). È facile pure avere la dimensione dell'intersezione, perché segue da Grassmann. Sono chiari a tutti questi procedimenti?

L'unico punto in cui serve il lavoro sporco è per avere una base dell'intersezione, se questa è diversa da {0}, per la quale bisogna procedere alla e.rapuano.

[GIMUSI]

Concordo. In generale è facile trovare le dimensioni di V, W e V+W (basta "gaussizzare" opportune matrici o andare di D-rango). È anche abbastanza semplice produrre basi degli stessi spazi (basta interpretare bene quello che si è fatto con Gauss o andare a cercare i minori giusti se si è andati di D-rango). È facile pure avere la dimensione dell'intersezione, perché segue da Grassmann. Sono chiari a tutti questi procedimenti?

L'unico punto in cui serve il lavoro sporco è per avere una base dell'intersezione, se questa è diversa da {0}, per la quale bisogna procedere alla e.rapuano.

per la base dell'intersezione a me piace procedere secondo l'esempio della lezione 35...mettendo in matrice i vettori delle due basi e risolvendo il sistema omogeneo sulla matrice "gaussizzata"...in questo modo si hanno i coefficienti che annullano la combinazione e quindi anche l'intersezione dei due sottospazi secondo entrambe le basi

[nomeutente]

Potreste allegare le soluzioni? Grazie

[GIMUSI]

Potreste allegare le soluzioni? Grazie

allego le soluzioni per il test n.25 "Sottospazi vettoriali 3" (in magenta sono indicate le basi per il sottospazio intersezione)

nella versione rev01 sono state corrette su indicazione di e.rapuano le soluzioni degli esercizi 6 e 8

[e.rapuano]

Come base del sottospazio inteserzione nel 5° esercizio io mi trovo il vettore (-2,0,1).
Al 6° le dimensioni che mi trovo sono (in ordine): 2 2 2 2;
All'8°: 2 2 1 3;
9°: 3 2 2 3;

[GIMUSI]

Come base del sottospazio inteserzione nel 5° esercizio io mi trovo il vettore (-2,0,1)

mi pare che (-2,0,1) non vada bene...non appartiene a nessuno dei due sottospazi

Al 6° le dimensioni che mi trovo sono (in ordine): 2 2 2 2;
All'8°: 2 2 1 3;
9°: 3 2 2 3;

hai ragione...per il 6° e l'8° ho gaussizzato malissimo... correggo la tabella in rev01

per il 9° invece riconfermo 3 2 1 4...se prendi la matrice dei primi 4 vettori il rango è 4

[e.rapuano]

ok, corretto!

[matt_93]

ho un dubbio:
nell'esercizio 6, non mi torna la base dell'intersezione perchè sicuramente ho sbagliato qualcosa nei calcoli del secondo metodo descirtto dal prof nella lezione 35....posso sapere come viene trattato, passo per passo?
grazie.