Verifica sottospazio vettoriale di R3

[abc]

Salve!
Come posso verificare se U è un sottospazio vettoriale con \(U=\{(X,Y,Z) \in R3|X^{2}-Y^{2}+Z^{2}=0\}\) ?
Ho notato che il vettore nullo appartiene a U ma non ho ben chiaro come verificare se tale insieme è chiuso rispetto alla somma e alla moltiplicazione.
Buona serata, Paolo.

[Massimo Gobbino]

non ho ben chiaro come verificare se tale insieme è chiuso rispetto alla somma e alla moltiplicazione.

Beh, con tutti quei quadrati sarà dura che sia chiuso rispetto alla somma. Ad esempio i vettori (1,1) e (1,-1) stanno in U, ma la loro somma ...

La chiusura rispetto al prodotto per un numero (quella impropriamente chiamata moltiplicazione) invece c'è. Come si dimostra?

[abc]

Allora se non ho capito male:
prendo uno scalare arbitrario K appartenente al campo R e un elemento (vettore?) arbitrario (x,y,z) appartenente al sottospazio vettoriale U.
provo a vedere se k(x,y,z)=(kx,ky,kz) appartiene a U:
=> (kx)^2-(ky)^2+(kz)^2=k^2(x^2-y^2+z^2)=k^2*0=0
=> U è chiuso rispetto al prodotto.

[Massimo Gobbino]

Esatto

Importante è osservare che per dimostrare la chiusura rispetto ad una certa operazione occorre fare una dimostrazione con delle "variabili generiche", mentre per dimostrare la non chiusura basta trovare un singolo esempio in cui non funziona.