Inverse di matrici

[maimoneg]

All'attenzione del Chiar.mo Prof Gobbino

1) In uno spazio nxn sia data la matrice A non ortogonale.
Visto che la sua trasposta ha lo stesso determinante, cosa si può dire teoricamente
delle inverse relativamente ad A ed alla sua trasposta?

2) Visto che il determinante di una matrice A, essendo dato dalla somma dei prodotti di elementi
che non stanno nè sulla stessa riga e nè sulla stessa colonna, o se vogliamo è quella funzione che
rispetti le proprietà Det1...Det4, cosa si può dire sempre teoricamente (dico una cavolata)
del determinante sviluppato, nel senso di un Laplace allargato, però rispetto agli elementi di una diagonale?

Come sempre in attesa di un chiarimento
Voglia gradire
Cordiali Saluti.
Giuseppe Maimone

[Massimo Gobbino]

1) In uno spazio nxn sia data la matrice A non ortogonale.
Visto che la sua trasposta ha lo stesso determinante, cosa si può dire teoricamente

Questo è un facile esercizio: l'inversa della trasposta è la trasposta dell'inversa. Come si dimostra?

2) Visto che il determinante di una matrice A, essendo dato dalla somma dei prodotti di elementi
che non stanno nè sulla stessa riga e nè sulla stessa colonna, o se vogliamo è quella funzione che
rispetti le proprietà Det1...Det4, cosa si può dire sempre teoricamente (dico una cavolata)
del determinante sviluppato, nel senso di un Laplace allargato, però rispetto agli elementi di una diagonale?

Così di primo acchito mi pare che venga un pasticcio. Provare per credere nei casi 2*2 e 3*3.

[maimoneg]

Gent.mo Prof Gobbino
Ha fatto bene a farmela trovare da me, così non la dimentico più.

Lo si può dimostrare così:

AxA^(-1) = I

adesso faccio la trasposta di tutto.

[AxA^(-1)]^T = I = [A^(-1)]^TxA^T

Ciò vuol dire che, (dovendo ottenere sempre la matrice identica), il secondo membro satà costituito da:

A^T per la sua inversa.

ma lì c'è scritto: [A^(-1)]^T

e allora vuol dire che questa è proprio l'inversa. Quindi:

[A^(-1)]^T = [A^T]^(-1)

ossia che la trasposta dell'inversa è uguale all'inversa della trasposta e viceversa. c.d.d.

Un saluto cordiale
G. Maimone