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Salve a tutti, in riferimento al foglio di esercizi "Forme quadratiche 2", nel secondo esercizio si chiede, dal punto c fino alla fine, di determinare i valori di a per cui la forma quadratica risulti definita positiva/negativa/nulla su un sottospazio di dimensione 1/2.. o sul sottospazio generato da uno o più vettori specifici.

Nel secondo caso, ad esempio al punto h, dove vengono dati i due vettori (1,1,3) e (0,2,1), devo considerare il sottospazio generato dallo span di questi due vettori e dunque posso assegnare ad esempio due parametri t al primo vettore e s al secondo, ricavare le componenti x, y, z come combinazioni lineari dei due parametri ( quindi x=t, y=t+2s z=3t+s ) e sostituirle nell'equazione della forma quadratica per poi rispondere alla richiesta, trovando i valori di a?

Nel primo caso citato sopra, invece, sapendo di dover lavorare con la tecnica del completamento dei quadrati, come posso procedere utilizzando la dimensione del sottospazio richiesto?

Grazie

Il post è un po' vago ... prova a postare uno svolgimento completo di qualcosa, così ci sarà qualcosa di concreto su cui discutere.

Come posso procedere a questo punto?

(il riferimento è sempre all'esercizio 2, domanda "h")

Nessuno?

Ti conviene calcolare la forma bilineare \(\varphi\) associata sul sottospazio alla restrizione della forma quadratica \(q(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2+3axz\). Per cui in pratica posti \(v_1=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 3
\end{bmatrix}\) \(v_2=\begin{bmatrix}
0 & 2 & 1
\end{bmatrix}\)
Ottieni \(\varphi(v_1,v_1)=q(v_1)=1+2+27+9a=30+9a\)
\(\varphi(v_2,v_2)=q(v_2)=8+3=11\)
\(\varphi(v_1,v_2)=\varphi(v_2,v_1)=\frac{q(v_1+v_2)-(q(v_1)+q(v_2))}{2}=\frac{1+18+48+12a-(30+9a+11)}{2}=26+\frac32a\)
per cui la matrice associata è \(\begin{bmatrix} 30+9a & 26+\frac32a \\
26 + \frac32a & 11\end{bmatrix}\) che è definita positiva se e solo se (essendo una 2 per 2) traccia e determinante sono positivi e prova a fare gli ultimi conti.

gino wrote:Ti conviene calcolare la forma bilineare \(\varphi\) associata sul sottospazio alla restrizione della forma quadratica \(q(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2+3axz\). Per cui in pratica posti \(v_1=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 3
\end{bmatrix}\) \(v_2=\begin{bmatrix}
0 & 2 & 1
\end{bmatrix}\)
Ottieni \(\varphi(v_1,v_1)=q(v_1)=1+2+27+9a=30+9a\)
\(\varphi(v_2,v_2)=q(v_2)=8+3=11\)
\(\varphi(v_1,v_2)=\varphi(v_2,v_1)=\frac{q(v_1+v_2)-(q(v_1)+q(v_2))}{2}=\frac{1+18+48+12a-(30+9a+11)}{2}=26+\frac32a\)
per cui la matrice associata è \(\begin{bmatrix} 30+9a & 26+\frac32a \\
26 + \frac32a & 11\end{bmatrix}\) che è definita positiva se e solo se (essendo una 2 per 2) traccia e determinante sono positivi e prova a fare gli ultimi conti.

Grazie dell'aiuto! La formula usata nel finale è quella di polarizzazione, giusto? In realtà cercavo un metodo base base (che non utilizzasse le forme bilineari, dato che non le abbiamo affrontate con il Professore), ma a questo punto mi pare di capire che non ci siano via alternative

@savfici, occhio che la soluzione di gino è la stessa tua, modulo qualche probabile piccolo errore di calcolo! Non c'è sotto nessuna formula o concetto misterioso.

Dopo aver costruito l'espressione in t ed s, basta vedere quando quella è definita positiva, il che si riduce allo studio di una matrice simmetrica 2*2, che è la stessa di gino.

Infatti quello che fa gino è restringere la forma quadratica al sottospazio 2-dim generato dai due vettori, solo che lo fa in maniera più elegante calcolando solo i prodotti scalari tra gli elementi della base. Il conto però fondamentalmente è lo stesso.

Sostanzialmente la mia espressione finale (nella foto), sulla quale mi ero bloccato, rappresenta un'altra sorta di forma quadratica in t ed s (invece che in x , y e z ), di cui devo normalmente discutere la segnatura in funzione di a, ad esempio con la matrice associata, ottenendo i conti simili a quelli di Gino..
Corretto o sbaglio ancora?

savfici wrote: Corretto o sbaglio ancora?

Corretto .

Grazie