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Alla cortese attenzione del prof. Massimo Gobbino

Siano V e W due spazi vettoriali.
Un'applicazione lineare f: V-->W è una funzione tale che:

1) f(u+v) = f(u) + f(v) (per qualsiasi u e v entrambi appartenenti a V)
2) f(au) = af(u) (per qualunque v che appartiene a V e a che appartiene a R1)

La domanda è questa:
La condizione 2), non è contenuta nella 1)?
O ciò è molto restrittivo?

Magari dico un'assurdità:

f(2u) = f(u+u) = f(u) + f(u) = 2f(u) ???

Giuseppe Maimone

Eheh, fino a quando \(a\) vale 2 o 3 è semplice, ma quando \(a=\sqrt{2}\) come la mettiamo?

Alla Cortese attenzione del Prof. Massimo Gobbino.
Lei ride, ma io non ho capito.
Forse perchè non posso fare cosi:

f(u + 0.414..u) = f(1u) + f(0.414...u) = 1f(u) + 0.414...f(u) ??

Oppure, visto che nell'insieme degli spazi vettoriali sono coinvolti
sistemi di equazioni lineari, i coefficienti devono essere interi?
Ma i coefficienti di cui sopra sono reali come richiesto dalle condizioni di verifica!
Non ci arrivo, mi dia un colpo in testa.
Grazie comunque, io continerò a pensarci.
Voglia gradire cordiali saluti.
Giuseppe Maimone

No no, non ridevo, l'osservazione è sensatissima.

Dalla sola additività segue la possibilità di portare fuori un 2, cioè \(f(2u)=2f(u)\). Allo stesso modo segue la possibilità di portare fuori un 3 e qualunque numero naturale. Con un po' più di fatica si dimostra che si possono portare fuori tutti gli interi (anche negativi) e tutti i numeri razionali.

Tuttavia, dalla sola additività non segue la possibilità di portare fuori numeri che non siano razionali, come appunto \(\sqrt{2}\), nemmeno nel caso di applicazioni \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\). Costruire un controesempio non è per nulla banale, ed anzi richiede l'assioma di scelta in tutta la sua potenza.

https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27 ... l_equation

Grazie Professore
Apparentemente, e inizialmente la domanda è venuta spontanea.
Però poi la risposta non veniva in quanto (alfa) apparteneva ai reali.
E siccome la radice di due, oltre ad essere irrazionale (prima dimostrazione della storia della matematica),
era anche reale, sono entrato in tilt.
Mi fa piacere che la domanda era sensata, ma non mi aspettavo che dietro v'era tutta una matematica
per nulla semplice.
E' un pò come quando si vuole indagare sull'esistenza del successivo di un numero in Q.
Giuseppe Peano se ne uscì con una trovata accettabile per gli interi: che ogni intero ha un suo successivo.
Diversamente rimarremmo bloccati.
Inoltre tra due razionali comunque vicini, vi sono un'infinità di irrazionali per formulare così
l'ipotesi del continuo dei reali, e andiamo a finire in filosofia che non è il caso.
Voglia gradire come al solito i più cordiali saluti e buone feste.
Giuseppe Maimone