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Sia \(f\) un'applicazione lineare \(\displaystyle f: R_{\leq 3}[x] \rightarrow R_{\leq 3}[x] \) tale che $$f(1+x+x^2)=f(x-x^3)=f(1)=f(x+x^2)$$
(i)Determinare la dimensione del nucleo e dell'immagine.
(ii) Sia \(g\) l'applicazione lineare che soddisfa le proprietà sopra e tale che $$g(x)=1+2x+3x^2+4x^3$$
Determinare la matrice rappresentativa di g rispetto alla base \(S=\{1,x,x^2,x^3 \}\) in entrata e uscita.

(i) Da quelle condizioni ricavo che \(f(1)=0\) e \(f(x)=f(x^3)=-f(x^2)\) ma ora come faccio a determinare la loro dimensione? Mi verrebbe da dire che dim(ker)=1 e automaticamente la dim(Im)=3, ma ciò non è vero, e lo capisco dal punto due

(ii)ho \(g(1)=0\) e \(g(x)=g(x^3)=-g(x^2)=1+2x+3x^2+4x^3\) da cui segue che \(\displaystyle M_{S} ^{S} (g)=\left[\begin{matrix} 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & 4 & -4 & 4\end{matrix}\right] \).
Quindi dim(Im)=1!

Quindi come fare il punto (i)?

Ciao, la dimensione dell’immagine è al più 1 perché è lo span dell’immagine di una base e per le considerazioni che hai fatto \(\text{Span}\{f(1),f(x),f(x^2),f(x^3)\}=\text{Span}\{f(x)\}\) quindi se \(f(x) \neq 0\) allora l’immagine ha dimensione 1 come per \(g\), se \(f(x)=0\) allora \(f\) è l’applicazione nulla.