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Ciao a tutti, avrei bisogno di un piccolo chiarimento sulla classificazione delle isometrie del piano, ed in particolare sull’antitraslazione (lezione 53 - 2014/2015). Nel caso in cui il rango della matrice sia 1 il prof. Gobbino conclude dicendo che siccome il vettore b non appartiene all’immagine dell’applicazione lineare associata alla matrice allora risulta essere parallelo alla retta di simmetria. Sarà sicuramente una stupidaggine, ma mi sfugge proprio questo passaggio: come si fa a concludere che il vettore b è parallelo alla retta di simmetria dal semplice fatto che b non appartiene all’immagine? Grazie

Nessuna anima pia mi può dare una mano? Provo a chiarire meglio il mio dubbio.
La classificazione delle isometrie in \(\mathbb{R}^2\) si basa sulla ricerca dei punti fissi, quindi sulla ricerca dei vettori \(x\) tali che:
\(Ax+b=x\),
che può essere riscritto come:
\((A-Id)x=-b\).
Il mio dubbio riguarda il caso in cui non ci siano punti fissi, cioè il caso in cui i ranghi delle matrici \((A-Id)\) e \((A-Id|-b)\) non coincidano. Il caso in cui \((A-Id)\) ha rango \(0\) è chiaro, quello che non mi torna è il caso in cui il rango è \(1\). Il fatto che il sistema non abbia soluzioni implica che il vettore \(-b\) non appartiene all’immagine di \((A-Id)\). Ciò che non mi è chiaro è come da qui si faccia a concludere che allora il vettore \(-b\) è parallelo alla retta di simmetria della matrice \(A\).

Sono io che l'ho spiegato malino . Se non lo fa nessuno, quando ho un attimo di tempo preciso meglio ...

Grazie mille!

Il caso in discussione è quello in cui A è una simmetria rispetto ad una retta e l'affinità Ax+b non ha punti fissi. Come giustamente osservato, questo accade se il vettore -b non sta nell'immagine di A-Id.

Ora è abbastanza facile vedere che l'immagine di A-Id è la retta perpendicolare alla retta rispetto alla quale A fa la simmetria. Quindi la condizione per non avere punti fissi è che -b, o equivalentemente b, non appartenga a tale retta ortogonale, o equivalentemente abbia componente non nulla rispetto alla direzione della retta rispetto alla quale si sta facendo la simmetria.

Da dove nasce la mia spiegazione sbagliata? Scriviamo b come somma di due vettori \(b_1\) e \(b_2\), il primo ortogonale ed il secondo parallelo alla direzione della retta di simmetria. L'affinità si scrive quindi come

\(Ax+b_1+b_2\)

dove A rappresenta la simmetria rispetto ad una retta passante per l'origine.

Qual è l'effetto di \(b_1\) e \(b_2\)? L'effetto di \(b_1\) è quello di traslare perpendicolarmente a se stessa la retta rispetto alla quale stiamo facendo la simmetria (che quindi non passa più per l'origine quando questo vettore non è nullo). L'effetto di \(b_2\) a quel punto è di traslare tutto parallelamente alla retta di simmetria, quindi se \(b_2\neq 0\) addio punti fissi.

In questo senso si può dire che quando A-id non è la matrice nulla e non ci sono punti fissi, allora abbiamo fatto una simmetria rispetto ad una qualche retta (anche non passante per l'origine) e poi traslato parallelamente alla retta stessa.

Volendo fare un esempio numerico, pensiamo alla trasformazione

\(\pmatrix{x\\y}\to\pmatrix{1&0\\0&-1}\pmatrix{x\\y}+\pmatrix{3\\4}=\pmatrix{x+3\\-y+4}\)

La matrice rappresenta la simmetria rispetto all'asse x. Il vettore \(b_1\) sarebbe (0,4) e il suo effetto è quello di rendere la simmetria rispetto alla retta \(y=2\) (traslazione della retta di simmetria originaria). Infine il vettore (3,0) trasla tutto parallelamente alla retta di simmetria, distruggendo i punti fissi.

Gentilissimo! Finalmente ho capito.