Forum Studenti

Buonasera a tutti,

apro un nuovo argomento (sperando che non sia considerato spam) invece di postare in quello postato prima così magari qualcuno può vedere eventuali soluzioni a questo tipo di problema.
Il problema è il seguente:

Si considerino i seguenti vettori in C^5:
\(v1 = \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\3\\4\\5\end{pmatrix} v2 = \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0\\1 \end{pmatrix} v3 = \begin{pmatrix} 1\\2\\1\\2\\3\end{pmatrix}v4 = \begin{pmatrix} 1\\0\\2\\1\\2 \end{pmatrix}\)

Sia W =<v1,v2,v3,v4>

1) Si calcoli la base di W

2) Si calcoli la dimensione di W

3) Si descriva W tramite equazioni cartesiane

Per quanto riguarda il punto 1, ho ridotto la matrice da:

\(\begin{pmatrix} 1&1&1&1&0\\ 2&0&2&0&0 \\ 3&1&1&2&0 \\4&0&2&1&0\\5&1&3&2&0 \end{pmatrix}\\)

a:

\(\begin{pmatrix} 5&1&3&2&0\\ 0&-4&-2&-3&0 \\ 0&0&-10&5&0 \\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0 \end{pmatrix}\\)

Ho 3 pivot su v1,v2 e v3. Essendo v4 una variabile libera, la posso scartare e dire che v1,v2,v3 fanno una base; però anche v1,v2,v4 sono una base. Insomma, scegliendone 3 su 4 di vettori ho sempre una base.

Il punto due, dim(W)=3 poiché rng(W)=3.

Il problema è il punto 3, che non so se ho fatto bene o male. In questo tipo di esercizi solitamente da quel che ho capito è cercare di ridurre l'ultima riga a tutti 0 nella matrice dei coefficienti (ovviamente se non ho rango max, giusto?) impostando anche dei coefficienti, cioè:


\(\begin{pmatrix} 1&1&1&x\\ 2&0&2&y \\ 3&1&1&z \\4&0&2&t\\5&1&3&u \end{pmatrix}\\)

Svolgendola mi torna la seguente matrice:

\(\begin{pmatrix} 5&1&3&u\\ 0&-4&-2&-5x+u \\ 0&0&6&10y-4u \\0&0&0&6z-(9/5)u+10y-4u\\0&0&0&-5t+4u-5x+u \end{pmatrix}\\)

L'equazione cartesiana mi torna:

\(\begin{equation}
30z-29u+50y=0
\end{equation}\)
\(\begin{equation}
-t-x+u=0
\end{equation}\)

è corretta?

FedeB wrote:Per quanto riguarda il punto 1, ho ridotto la matrice da: \begin{pmatrix} 1&1&1&1&0\\ 2&0&2&0&0 \\ 3&1&1&2&0 \\4&0&2&1&0\\5&1&3&2&0 \end{pmatrix}a:\begin{pmatrix} 5&1&3&2&0\\ 0&-4&-2&-3&0 \\ 0&0&-10&5&0 \\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0 \end{pmatrix}Ho 3 pivot su v1,v2 e v3. Essendo v4 una variabile libera, la posso scartare e dire che v1,v2,v3 fanno una base; però anche v1,v2,v4 sono una base. Insomma, scegliendone 3 su 4 di vettori ho sempre una base.

sì il procedimento è sostanzialmente corretto. Nota che la 5° colonna di zeri è superflua. Cosa intendi con "Essendo v4 una variabile libera"? Sì \(v_1,v_2,v_3\) sono una base e anche \(v_1,v_2,v_4\) ma anche \(v_2,v_3,v_4\).

osserva che avresti potuto anche lavorare con i vettori per riga ed in questo caso avresti potuto utilizzare come base anche anche i vettori della matrice ridotta (sai dire perché?)

FedeB wrote:Il punto due, dim(W)=3 poiché rng(W)=3.

sì ok

FedeB wrote:Il problema è il punto 3, che non so se ho fatto bene o male. In questo tipo di esercizi solitamente da quel che ho capito è cercare di ridurre l'ultima riga a tutti 0 nella matrice dei coefficienti (ovviamente se non ho rango max, giusto?) impostando anche dei coefficienti, cioè:

il procedimento è giusto (non ho controllato i calcoli), ti è chiaro il procedimento è perché risolvere questo sistema funzioni.

GIMUSI wrote: ti è chiaro il procedimento è perché risolvere questo sistema funzioni.

Piu o meno so che devo ottenere una dipendenza lineare, però non so perché e come potrei magari passare dalla cartesiana alla forma vettoriale..

FedeB wrote:

GIMUSI wrote: ti è chiaro il procedimento è perché risolvere questo sistema funzioni.

Piu o meno so che devo ottenere una dipendenza lineare, però non so perché e come potrei magari passare dalla cartesiana alla forma vettoriale..

Per semplicità in \(\mathbb{R^3}\), un punto (x,y,z) appartiene al sottospazio se (e solo se) il sistema (incognite a,b,c)

\(av_1+bv_2+cv_3=(x,y,z)\)

ha soluzione.

Se consideriamo la matrice estesa associata al sistema, qual è la condizione perché il sistema abbia soluzioni?

La risposta è proprio l'algoritmo che hai utilizzato.