Matrice associata rispetto alle basi canoniche ?

[k2world]

Ciao a tutti.
A breve ho l'esame di algebra lineare e non riesco proprio a capire come risolvere il punto 1 dell'esercizio che ho messo in allegato.
Qualche buon'anima mi spiegherebbe come si fa?
Grazie in anticipo.

[GIMUSI]

prova a dare un'occhiata agli esercizi risolti postati qui nella sezione "Algebra lineare" sotto la dicitura "Applicazioni lineari", ci dovrebbero essere almeno 5 schede con esempi risolti oltre a discussioni sui metodi

ad esempio qui Applicazioni lineari 2/3

[GIMUSI]

allego qui un possibile svolgimento

[k2world]

Grazie mille!

Però ho un dubbio, non si dovrebbe fare così?

f(v₁)=v₂=1e₁+1e₂+0e₃
f(v₂)=v₃=0e₁+0e₂+1e₃
f(v₃)=v₂+v₃=1e₁+1e₂+1e₃
Esprimiamo la trasposta della matrice dei coefficienti
(1...0...1)
(1...0...1)=B
(0...1...1)

[GIMUSI]

..
Però ho un dubbio, non si dovrebbe fare così?

f(v₁)=v₂=1e₁+1e₂+0e₃
f(v₂)=v₃=0e₁+0e₂+1e₃
f(v₃)=v₂+v₃=1e₁+1e₂+1e₃
Esprimiamo la trasposta della matrice dei coefficienti
(1...0...1)
(1...0...1)=B
(0...1...1)

direi di no, la matrice B (se non erro) deve fare il lavoro previsto da f, cioè:
\(B*v_1=v_2\)
\(B*v_2=v_3\)
\(B*v_3=v_2+v_3\)

come già segnalato, se guardi i thread che ti ho indicato dovresti trovare ulteriori informazioni

[k2world]

Sì ma è rispetto alle basi canoniche

[GIMUSI]

Sì ma è rispetto alle basi canoniche

se non sbaglio, quella postata col mio svolgimento è la B in base canonica su dominio e codominio, infatti se la moltiplichi per \(v_1\) \(v_2\) o \(v_3\) (in base canonica) ottieni quanto previsto da f (in base canonica)

la B in base \(v_1\) \(v_2\) \(v_3\) su dominio e codominio dovrebbe essere:

0 0 0
1 0 1
0 1 1

[k2world]

Scusa avevi ragione. Ho provato ad utilizzare un altro metodo per la risoluzione, ovvero mi ricavo la f(e1), f(e2), f(e3) attraverso procedimenti diversi ed il risultato viene uguale al tuo.
Grazie ancora!

[k2world]

Per quanto riguarda il secondo punto, per calcolare il rango di f devo mettere in colonna le immagini di f?

Ovvero:

f(v1)= (1,1,0)
f(v2)=(0,0,1)
f(v3)=(1,1,1)

E poi ridurre a gradini la matrice ottenuta giusto? Il rango dovrebbe essere 2 no?

[GIMUSI]

Per quanto riguarda il secondo punto, per calcolare il rango di f devo mettere in colonna le immagini di f?

Ovvero:

f(v1)= (1,1,0)
f(v2)=(0,0,1)
f(v3)=(1,1,1)

E poi ridurre a gradini la matrice ottenuta giusto? Il rango dovrebbe essere 2 no?

che il rango sia 2 lo puoi vedere in tanti modi equivalenti tra cui:
- numero di colonne/righe linearmente indipendenti di B (in versione canonica o no)
- valutando la dimensione dell'immagine

il metodo che impieghi corrisponde a valutare la dimensione dell'immagine sulla base dei vettori ottenuti a partire da una base (NOTA: lo hai fatto sui "v" ma puoi farlo anche sugli "e"; e facendolo sugli "e" e come se ragionassi su B)

più semplicemente che il rango è 2 lo vedi subito perché solo \(v_1\) e \(v_2\) vanno in vettori tra loro indipendenti mentre \(v_3\) va in una c.l..

il consiglio che ti posso dare è quello di cercare sempre di dare un significato alle procedure di calcolo che utilizzi perché altrimenti rischi di fare errori grossolani

ad esempio se i v non fossero una base la valutazione fatta con il metodo che hai seguito sarebbe sbagliata

[k2world]

Scusa ma se i v non fossero una base potrei comunque calcolare il rango di f(v) col metodo delle colonne dominanti no?

[GIMUSI]

Scusa ma se i v non fossero una base potrei comunque calcolare il rango di f(v) col metodo delle colonne dominanti no?

non è assicurato

se mandi ad es v2 v3 e v2+v3 ok

ma non è sempre vero

per valutare correttamente il rango in generale occorre una base

era solo un esempio...è un fatto banale ma che va tenuto in conto

[albertoandrenucci_]

Per verificare che l'insieme \(\{v_1,v_2,v_3\}\) forma una base di \(\mathbb{C}^3\) ci basta verificare che il rango della matrice che ha per colonne i tre vettori ha rango massimo. Questo si fa facilmente con il calcolo del determinante (che viene \(1\)) oppure con la semplice riduzione a scala secondo l'algoritmo di Gauss.

Sapendo che \(f(v_1)=v_2, f(v_2)=v_3, f(v_3)=v_2+v_3\) abbiamo che

\(\mathcal{M}_\mathcal{B}(f)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)

è proprio la matrice che stiamo cercando. E credo che da qui sia semplice terminare gli altri punti. Per il calcolo del rango puoi procedere senza problemi con l'algoritmo di Gauss che ti riduce la matrice a scalini.

[Massimo Gobbino]

il rango della matrice che ha per colonne

o anche per righe, ovviamente.