Prodotti scalari - Esercizi teorici 2

[GIMUSI]

mi trovo in grande difficoltà con l'esercizio n.4 del test n.47 "Prodotti scalari - Esercizi teorici 2"

non riesco a capire come sia possibile che, in generale, due prodotti scalari definiti positivi ammettano una stessa base ortonormale

[Massimo Gobbino]

Inizia a pensare al caso in cui uno dei 2 è il prodotto scalare canonico ...

[GIMUSI]

cerco di spiegare qual è la difficoltà che incontro nella costruzione di una base ortonormale comune ai due prodotti scalari definiti positivi

supponiamo che le matrici associate ai due prodotti scalari definiti positivi siano: [tex]I[/tex] e [tex]B[/tex] (è sempre possibile ricondursi a questo caso)

ci proponiamo costruire una base ortonormale rispetto ad entrambi i prodotti scalari

sia [tex]v_1[/tex] il primo vettore della base, in generale risulterà:

[tex]v_1^tBv_1=b_1[/tex]

[tex]v_1^tIv_1= \parallel v_1 \parallel ^2[/tex]

affinché [tex]v_1[/tex] sia normalizzabile rispetto ai due prodotti scalari deve risultare:

[tex]v_1^tBv_1= v_1^tIv_1[/tex]

e quindi:

[tex]v_1^t(B-I)v_1= 0[/tex]

[tex]v_1 \neq 0[/tex]

cioè [tex]v_1[/tex] deve essere isotropo rispetto al prodotto scalare con matrice associata [tex](B-I)[/tex]...e questo non è possibile in generale

[Massimo Gobbino]

Ops, mi cospargo il capo di cenere

Ortonormale per tutti e 2 è una richiesta irricevibile (basta pensare a I e 2I ).

Intendevo dire ortogonale. Sorry, ma l'età gioca brutti scherzi

[GIMUSI]

dopo i svariati tentativi stavo per perdere le speranze...meglio così

il fatto strano sarebbe stato se l'avessi trovata...mi davano la medaglia fields

PS

quindi se [tex](B-I)[/tex] fosse indefinita una sua base isotropa servirebbe allo scopo?

[GIMUSI]

allego le soluzioni con svolgimento del test n.47 “Prodotti scalari - Esercizi teorici 2”

[GIMUSI]

quindi se [tex](B-I)[/tex] fosse indefinita una sua base isotropa servirebbe allo scopo?

ovviamente ho detto una sciocchezza...anche se [tex](B-I)[/tex] fosse indefinita una sua base isotropa renderebbe uguali solo le diagonali di [tex]B[/tex] e [tex]I[/tex]

[Massimo Gobbino]

anche se [tex](B-I)[/tex] fosse indefinita una sua base isotropa renderebbe uguali solo le diagonali di [tex]B[/tex] e [tex]I[/tex]

Certo, ed il problema non è di rendere uguali le diagonali, ma nullo contemporaneamente il resto. Tra l'altro, rendere uguali le diagonali è facile, nel senso che ci sono tantissimi gradi di libertà nella scelta delle basi che lo fanno, mentre rendere contemporaneamente nullo il resto è qualcosa che si può fare, tranne casi speciali (autovalori con molteplicità maggiore di 1), in modo sostanzialmente unico.

[Balengs]

Eccomi di nuovo...
mi sono avventurato in questa parte degli esercizi e sono arrivato fino al punto 4 (diagonalizzazione simultanea).
E quindi mi perdo quando

[tex]{\ps <x_i,x_j>_B} = x_i^tBx_j = b_i_j = \widehat B[/tex]

non mi è per nulla evidente perchè [tex]\widehat B[/tex] dovrebbe ancora essere simmetrica dopo il cambio di base fatto tramite gli autovettori ortonormali di A.
E' possibile avere una spiegazione? Sono completamente fuori strada...

Update: al punto 5a) mi sembra di procedere in maniera diversa rispetto alle soluzioni e vorrei essere sicuro quindi di non sbagliare. Per determinare che esiste una matrice simmetrica [tex]B[/tex] tale che [tex]A = B^{2013}[/tex] ho fatto così:

[tex]\rightarrow[/tex] ho "invocato" il teorema spettrale dicendo che sia A sia B essendo simmetriche possono essere diagonalizzate tramite matrice ortogonale [tex]M^{-1} = M^t[/tex] di autovettori
[tex]\rightarrow[/tex] quindi ho ragionato nel seguente modo:

[tex]M^tAM=D[/tex]

[tex]\widehat M^tB\widehat M=D[/tex] (dato che sono simili hanno la stessa forma canonica)

[tex]B=\widehat MD \widehat M^t[/tex] quindi [tex]B^{2013}=\widehat MD \widehat M^t \widehat MD \widehat M^t \cdot \cdot \cdot \widehat MD \widehat M^t[/tex]

[tex]B^{2013}=\widehat MD^{2013} \widehat M^t[/tex]

[tex]A=MDM^t = \widehat MD^{2013} \widehat M^t = B^{2013}[/tex]

Va bene come ragionamento oppure ho sballato? Mi sembrava simile a quanto visto nelle lezioni

[Massimo Gobbino]

Uhm, di quello che scrivi sul (5a) non mi torna nulla . In particolare non è vero che A e B sono simili. L'esercizio chiede di dimostrare che per ogni A simmetrica esiste almeno una B simmetrica la cui potenza 2013-esima è proprio A. In questo caso devi, in poche parole, dire come costruire B a partire da A. Avrai capito la cosa quando ti sarà chiara questa procedura, e saprai applicarla in casi concreti, ad esempio scrivendo una matrice 2*2 simmetrica a caso e trovando la B corrispondente. Per allenamento, puoi iniziare considerando la potenza terza invece di 2013-esima.

Anche sul 4 vale lo stesso approccio. Prendi 2 prodotti scalari definiti positivi a caso (ce ne sono tanti negli esercizi precedenti), e prova a trovare una base che sia ortogonale per entrambi.

E, soprattutto, lavora sugli esercizi a 5 stelle quando ti sono estremamente chiari quelli a 3 stelle.

[Balengs]

Grazie della risposta professore.
Proverò a rivedermi gli esercizi precedenti per capire cosa non mi è chiaro