Forum Studenti

Quando faccio la simmetria rispetto al piano xy , usando il metodo delle basi, quale sarebbe la matrice di simmetria?

AntiLover wrote:Quando faccio la simmetria rispetto al piano xy , usando il metodo delle basi, quale sarebbe la matrice di simmetria?

visto che x e y vanno in se stessi e z va in -z la matrice di simmetria è evidentemente:

[tex]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}[/tex]

mi pare che in questo caso operare con il cambio di basi significhi calcolare:

[tex]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/tex]

non mi è chiaro perché z va in -z

AntiLover wrote:non mi è chiaro perché z va in -z

puoi vederla così...il piano xy è fisso (per definizione) quindi le prime due colonne sono determinate...trattandosi di una isometria per z hai due sole possibilità:

- (0,0,1) avresti l'identità

- (0,0,-1) che è appunto la simmetria

giusto! e quindi una volta fatto il prodotto, userò la matrice che ho trovato come matrice di simmetria negli altri punti? ps: queste isometrie mi stanno proprio antipatiche!

AntiLover wrote:giusto! e quindi una volta fatto il prodotto, userò la matrice che ho trovato come matrice di simmetria negli altri punti? ps: queste isometrie mi stanno proprio antipatiche!

sono bellissime le isometrie

allego le soluzioni con svolgimento del test n.52 “Isometrie dello spazio 1”

Scusami GIMUSI, io nel primo esercizio al punto (c) ho scritto il punto generico del piano come (3s, -2s-5t-7, 3t) ricavando la y e scrivendo tutto in funzione delle variabili x=s e z=t. Va bene anche in questo modo? Solo che svolgendo i calcoli non mi trovo con -21, ma con -7.

mi pare che l'equazione parametrica del piano sia

[tex](3s, -2s-5t-7/3, 3t)[/tex]

non credo però che sia un metodo conveniente...un modo alternativo comodo per le isometrie più semplici dei piani è sostituire x, y e z con i valori traslati:

[tex]x = x^* - 3[/tex]

[tex]y = y^* + 1[/tex]

[tex]z= z^* - 5[/tex]

personalmente anche per i casi più complessi ho preferito utilizzare i trasformati di [tex]n[/tex] e di un punto [tex]P[/tex] appartenente al piano

Svolgendo i calcoli con il tuo metodo, non mi ritrovo nel primo esercizio al punto c con il valore del termine noto. A me esce d = -19.

Angelica27 wrote:Svolgendo i calcoli con il tuo metodo, non mi ritrovo nel primo esercizio al punto c con il valore del termine noto. A me esce d = -19.

se lo svolgi con il semplice metodo che ho indicato sopra si ottiene:

[tex]2(x-3)+3(y+1)+5(z-5)+7=0[/tex]

da cui:

[tex]2x+3y+5z-6+3-25+7=0[/tex]

[tex]2x+3y+5z-21=0[/tex]

Prendendo un punto a caso appartenente al piano (ad es. P = (-1, 0, 1) e sommandolo al vettore di traslazione, ottengo il punto P' = (2, -1, -4). Se questo punto vado a sostituirlo nella generica equazione del piano (ax + by + cz + d = 0), ottengo d = - 19. Sarebbe giusto come procedimento?

Angelica27 wrote:Prendendo un punto a caso appartenente al piano (ad es. P = (-1, 0, 1) e sommandolo al vettore di traslazione, ottengo il punto P' = (2, -1, -4). Se questo punto vado a sostituirlo nella generica equazione del piano (ax + by + cz + d = 0), ottengo d = - 19. Sarebbe giusto come procedimento?

mi pare che sia [tex]P[/tex]'[tex]= (2, -1, +4)[/tex]

Perdonami, ho visto un segno per un altro!