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allego le soluzioni con svolgimento del test n.51 “Isometrie del piano 3”

Non ho affatto capito perché in alcuni esercizi bisogna sdoppiare b in b ortogonale e b parallelo e perché poi la f (x) è data da A (x - b ort/2) + b ort/2 + b par. Aiuto, please!

Angelica27 wrote:Non ho affatto capito perché in alcuni esercizi bisogna sdoppiare b in b ortogonale e b parallelo e perché poi la f (x) è data da A (x - b ort/2) + b ort/2 + b par. Aiuto, please!

Nella classificazione delle isometrie del piano quando non si hanno punti fissi ci sono due casi (vd. lez.49):
- traslazione;
- simmetria rispetto ad una retta più traslazione parallela alla retta stessa.

Quindi per classificare in modo completo un'isometria [tex]f(x)=Ax+b[/tex] quando si ha una matrice [tex]A[/tex] di simmetria ripetto ad una retta (passante per l'origine) + una traslazione è necessario verificare la direzione della traslazione rispetto alla retta; si possono verificare tre casi:

1 - vettore traslazione parallelo alla retta: allora si tratta proprio del caso generale previsto nella classificazione e non c'è da fare altro;

2 - vettore ortogonale alla retta: in questo caso esistono punti fissi; l'isometria è infatti una simmetria rispetto ad una retta parallela traslata di [tex]b_o_r_t/2[/tex] (basta fare un disegno per rendersene conto o in alternativa prendere il sistema [tex]A (x - b_o_r_t/2) + b_o_r_t/2[/tex] e determinarne i punti fissi);

OSS: al posto di [tex]b_o_r_t/2[/tex] si può prendere un qualsiasi altro punto appartenente alla retta traslata di [tex]b_o_r_t/2[/tex] rispetto all'origine

3- vettore con una componente ortogonale e una parallela rispetto alla retta: in tal caso l'isometria è una simmetria rispetto ad una retta parallela traslata di [tex]b_o_r_t/2[/tex] + una traslazione di vettore [tex]b_p_a_r[/tex].

GIMUSI wrote:Quindi per classificare in modo completo un'isometria [tex]f(x)=Ax+b[/tex] quando si ha una matrice [tex]A[/tex] di simmetria ripetto ad una retta (passante per l'origine) + una traslazione è necessario verificare la direzione della traslazione rispetto alla retta

In realtà si può anche bovinamente risolvere il sistema lineare Ax+b=x e vedere così se ci sono punti fissi e se sì quali. Se ce ne sono (necessariamente saranno una retta, che non passa per l'origine a meno che b non sia nullo), allora la trasformazione è la simmetria rispetto a quella retta, altrimenti è simmetria + traslazione parallela.

Grazie mille!
Riguardo l'esercizio numero 2... l'asse di un lato non è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del lato? Come fa v1 ad appartenere alla retta (lo so che viene 0 = 0 sostituendo alla prima retta x e y)? E perché v1 e v2 (v3 e v4) vengono a coincidere? Perché io avrei pensato a farlo diversamente l'esercizio...

Angelica27 wrote:Grazie mille!
Riguardo l'esercizio numero 2... l'asse di un lato non è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del lato? Come fa v1 ad appartenere alla retta (lo so che viene 0 = 0 sostituendo alla prima retta x e y)? E perché v1 e v2 (v3 e v4) vengono a coincidere? Perché io avrei pensato a farlo diversamente l'esercizio...

visto che [tex]v_1[/tex] appartiene a [tex]r_1[/tex] mi pare che venga un rettangolo degenere...credevo si trattasse di un refuso ma poi mi sono dimenticato di evidenziarlo e segnalarlo al prof

tu come lo hai interpretato?

Gimusi una domanda, ma nell'esercizio 5 il vertice D non dovrebbe essere: [tex]D=S(B-A)+A[/tex] e il vertice C: [tex]C=S(A-D)+D[/tex] con [tex]S[/tex] intesa la matrice di rotazione oraria con [tex]\theta=\pi/2[/tex]?

Gabe wrote:Gimusi una domanda, ma nell'esercizio 5 il vertice D non dovrebbe essere: [tex]D=S(B-A)+A[/tex] e il vertice C: [tex]C=S(A-D)+D[/tex] con [tex]S[/tex] intesa la matrice di rotazione oraria con [tex]\theta=\pi/2[/tex]?

sono del tutto equivalenti

infatti partendo dalle relazioni che ho impiegato io si ottengono le tue, ad esempio:

[tex]C=S(B-A)+B[/tex]

[tex]D=C+(A-B)[/tex]

da cui

[tex]D=S(B-A)+B+(A-B)=S(B-A)+A[/tex]

Già, hai ragione, ieri sera non me ne sono accorto!