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allego le soluzioni con svolgimento del test n.45 “Prodotti scalari 2”

(per limiti di dimensione il file è in due parti)

[EDIT]
Angelica27 ha segnalato il seguente errore nel 3° prodotto scalare del punto 2): < [tex]x^3, x^3[/tex]> è pari a 18/5 e non 6; le conclusioni restano le stesse.

non riesco a capire come normalizzare alla fine . ho la stessa difficoltà in prodotti scalari 1... help!!!!

AntiLover wrote:non riesco a capire come normalizzare alla fine . ho la stessa difficoltà in prodotti scalari 1... help!!!!

per normalizzare il generico vettore [tex]w[/tex] rispetto al prodotto scalare con matrice associata [tex]B[/tex] la procedura è sempre la stessa:

- si calcola [tex]w^tBw[/tex]

- il modulo è la radice di [tex]w^tBw[/tex]

- si normalizza [tex]w[/tex] dividendolo per il modulo

per verifica se [tex]w^*[/tex] è il vettore normalizzato deve risultare:

[tex]w^*^tBw^*=1[/tex]

Perfetto!!!Finalmente ho capito!!! GRAZIE!!

Scusami GIMUSI, forse è un mio errore di calcolo, ma al secondo integrale dell'esercizio 2, quando faccio <w3,w3> non mi trovo con il tuo risultato. Non capisco il perchè del 3/2, 1 e 3/4 , in quanto nella matrice B ho 1/2, 1/3 e 1/4

AntiLover wrote:Scusami GIMUSI, forse è un mio errore di calcolo, ma al secondo integrale dell'esercizio 2, quando faccio <w3,w3> non mi trovo con il tuo risultato. Non capisco il perchè del 3/2, 1 e 3/4 , in quanto nella matrice B ho 1/2, 1/3 e 1/4

scusami ma non ho capito cosa non ti torna esattamente

In effetti non si capisce bene! comunque nulla! ho risolto XD avevo sbagliato un calcolo!! scusami e grazie per la disponibilità comunque!

Dovrebbe esserci un errore di calcolo nel terzo del terzo esercizio. < x^3, x^3> dovrebbe essere 18/5 e non 6.

Angelica27 wrote:Dovrebbe esserci un errore di calcolo nel terzo del terzo esercizio. < x^3, x^3> dovrebbe essere 18/5 e non 6.

hai ragione ho messo un [tex]9x^2[/tex] al posto del [tex]9x^4[/tex]

mi pare che il resto dell'esercizio rimanga invariato...la forma resta semidefinita positiva

Forse volevi dire semidefinita positiva comunque sì, rimane sempre la stessa.

Angelica27 wrote:Forse volevi dire semidefinita positiva comunque sì, rimane sempre la stessa.

già già già

Nel terzo esercizio dell'esercizio 4, una volta determinata la matrice B, non potrei ridurre la matrice B in una matrice diagonale e da lì vedere gli autovalori?

AntiLover wrote:Nel terzo esercizio dell'esercizio 4, una volta determinata la matrice B, non potrei ridurre la matrice B in una matrice diagonale e da lì vedere gli autovalori?

sì certo...in un caso del genere con tanti zeri si può anche fare ma in generale non mi pare il modo più conveniente...

già dalla definizione si può stabilire che la forma quadratica associata è [tex](x+w)^2[/tex]

e anche dalla matrice [tex]B[/tex] con il completamento dei quadrati è abbastanza immediato...

altrimenti con Sylvester...con la definizione generale di segnatura si vede subito che la segnatura è [tex]+000[/tex] (visto che il [tex]KerB[/tex] ha dimensione 3)

Nell'esercizio 4.3, punto b:
trovata la matrice associata al prodotto scalare io ho provato a usare Cartesio per determinare la segnatura....essendo una 4x4 ho dovuto usare LaPlace e alla fine mi è uscito il polinomio caratteristico:
l^4 - 2l^3 + 2l - 1
(dove l sta per lambda)
e quindi a me esce un +-+- che si traduce in tre autovalori positivi...

e.rapuano wrote:Nell'esercizio 4.3, punto b:
trovata la matrice associata al prodotto scalare io ho provato a usare Cartesio per determinare la segnatura....essendo una 4x4 ho dovuto usare LaPlace e alla fine mi è uscito il polinomio caratteristico:
l^4 - 2l^3 + 2l - 1
(dove l sta per lambda)
e quindi a me esce un +-+- che si traduce in tre autovalori positivi...

credo che vada bene...siccome [tex]n_0=0[/tex]...deve risultare [tex]n_-=4-3=1[/tex] quindi il prodotto scalare è indefinito

in alternativa...ora che l'ho imparato ne abuso...con Sylvester (1,4,3,2) extended si ottiene: [tex]++0-[/tex] da cui le due papabili segnature [tex]+++-[/tex] e [tex]---+[/tex]

la seconda si scarta perché non interseca lo spazio relativo al minore [tex]++0[/tex] quindi la segnatura è [tex]+++-[/tex]