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allego i risultati con svolgimento del test n.36 "Basi ortogonali e ortonormali 1"

nella rev01 a seguito delle osservazioni del Prof. Gobbino sono state apportate alcune correzioni agli esercizi in cui si richiede di trovare *tutte* le basi con una certa proprietà e all'esercizio 7

Mi spiace che questo thread abbia poche visite e pochi scaricamenti. In particolare mi sarei aspettato qualche protesta ... ad esempio negli esercizi in cui si richiede di trovare *tutte* le basi con una certa proprietà o nel numero 7. Davvero nessun altro ha fatto questo esercizio e vuole confrontare risultati/svolgimenti?

Massimo Gobbino wrote:Mi spiace che questo thread abbia poche visite e pochi scaricamenti. In particolare mi sarei aspettato qualche protesta ... ad esempio negli esercizi in cui si richiede di trovare *tutte* le basi con una certa proprietà o nel numero 7. Davvero nessun altro ha fatto questo esercizio e vuole confrontare risultati/svolgimenti?

in effetti ci sono anche le basi [tex](-v_1,v_2)[/tex] e [tex](-v_1,-v_2)[/tex]...non avevo notato la sottigliezza di quel tutte...

anche per il 7 in effetti mi pare che qualcosa non vada...nella base ortogonale va bene...ma nella corrispondente ortonormale le prime componenti non sono affatto uguali

ho postato la rev01 con le correzioni agli esercizi in cui si richiede di trovare *tutte* le basi con una certa proprietà e all'esercizio 7

Esatto, per il tutte è solo una questione di scelta dei segni. Per quanto riguarda la base ortonormale in cui tutti i vettori hanno la prima componente uguale, è chiaro cosa ci sta sotto? Detto altrimenti: come si potrebbe produrre in dimensione 4, 5 o in generale n?

Massimo Gobbino wrote:Esatto, per il tutte è solo una questione di scelta dei segni

allora nel caso generale cambiando i segni e commutando gli [tex]n[/tex] vettori della base ortonormale se possono creare in tutto [tex]2^nn![/tex] ? (per n=4 sarebbero 384!!!)

Massimo Gobbino wrote:Per quanto riguarda la base ortonormale in cui tutti i vettori hanno la prima componente uguale, è chiaro cosa ci sta sotto? Detto altrimenti: come si potrebbe produrre in dimensione 4, 5 o in generale n?

ammetto che per l'esercizio 7 l'ho determinata a occhio...

ripensandoci direi che c'entra qualcosa la diagonale del cubo (1,1,1,...,1) individuato dalla base canonica...direi che ognuna delle infinite isometrie che "portano" questa diagonale su [tex]e_1[/tex] individua una base ortonormale in cui tutti i vettori hanno la prima componente uguale

nel caso [tex]R^3[/tex] infatti la prima componente di una base del genere è proprio il coseno dell'angolo tra il vettore "diagonale del cubo" e i vettori della base canonica ([tex]\sqrt3/3[/tex])...

ma non saprei come determinarne una in generale

GIMUSI wrote: ma non saprei come determinarne una in generale

Beh, produrre una base ortonormale è equivalente a produrre una matrice ortogonale. Si tratta quindi di trovare una matrice ortogonale con una riga (o colonna?) "costante". Una delle 2 opzioni è quasi banale da trovare, quindi l'altra pure! (Lo so, sono stato un po' criptico, ma il mio vuole essere solo un aiutino).

Massimo Gobbino wrote:

GIMUSI wrote: ma non saprei come determinarne una in generale

Beh, produrre una base ortonormale è equivalente a produrre una matrice ortogonale. Si tratta quindi di trovare una matrice ortogonale con una riga (o colonna?) "costante". Una delle 2 opzioni è quasi banale da trovare, quindi l'altra pure! (Lo so, sono stato un po' criptico, ma il mio vuole essere solo un aiutino).

l'aiutino ha prodotto i seguenti (scarsissimi) progressi:

- operare per riga o per colonna direi che è lo stesso...visto che [tex]M^-^1=M^t[/tex] anche la trasposta è una matrice ortogonale

- in dimensione [tex]n[/tex] la papabile riga o colonna costante è necessariamente [tex]1/\sqrt n[/tex] (che nell'interpretazione geometrica è proprio il vettore "diagonale dell'ipercubo" normalizzato)

- se si parte dalla riga costante i vettori della base sono le colonne della matrice ortonormale...se si parte dalla colonna costante i vettori della base cercata sono le righe...

- mi pare che sia plausibile anche il caso di prima riga uguale a prima colonna (il che equivale a dire che il vettore "diagonale dell'ipercubo" normalizzato fa parte della base)

- ad esempio per n=4 una matrice del genere è la seguente:

[tex]\begin{matrix}
1/2 & 1/2 & 1/2 & 1/2 \\
1/2 & 1/2 & -1/2 & -1/2 \\
1/2 & -1/2 & 1/2 & -1/2 \\
1/2 & -1/2 & -1/2 & 1/2
\end{matrix}[/tex]

detto questo non riesco ad individuare un criterio furbo per costruire la matrice nel caso generale

forse un modo potrebbe essere i seguente

- si costruisce il primo vettore riga con componenti tutte uguali a [tex]1/\sqrt n[/tex]

- si completa ad una base di [tex]R^n[/tex] con [tex]n-1[/tex] vettori riga

- si bananizza con GS la base a partire dal primo vettore

- le colonne della matrice ortogonale ottenuta dovrebbero essere una base ortonormale con le prime componenti uguali

GIMUSI wrote: le colonne della matrice ortogonale ottenuta dovrebbero essere una base ortonormale con le prime componenti uguali

Massimo Gobbino wrote:

GIMUSI wrote: le colonne della matrice ortogonale ottenuta dovrebbero essere una base ortonormale con le prime componenti uguali

certo che ragionando sulla matrice ortogonale e sfruttandone le proprietà diventa come per magia tutto più semplice

mi chiedevo in che modo si possa costruire in generale anche la matrice ortogonale con prima/una riga e prima/una colonna aventi componenti tutte uguali a [tex]1/\sqrt n[/tex] (cioè con il vettore "diagonale dell'ipercubo" normalizzato incluso nella base)

...e se una tale base/matrice (a meno di permutazioni nell'ordine dei vettori) sia unica..."ragionando" geometricamente in analogia ai casi [tex]R^2[/tex] e [tex]R^3[/tex] mi verrebbe da dire di sì...

puoi spiegarmi come hai fatto l'esercizio 8?
perché non ho capito come hai fatto alcuni passaggi, specialmente dopo aver trovato v1...

matt_93 wrote:puoi spiegarmi come hai fatto l'esercizio 8?
perché non ho capito come hai fatto alcuni passaggi, specialmente dopo aver trovato v1...

[tex]v_1[/tex] è (come richiesto) il vettore intersezione normalizzato

[tex]v_2[/tex] è (come richiesto) un vettore appartenente a [tex]W_2[/tex] e ortogonale a [tex]v_1[/tex] normalizzato

visto che [tex]v_1[/tex] e [tex]v_2[/tex] appartengono a [tex]W_2[/tex], [tex]v_3[/tex] è un vettore ortogonale a [tex]W_2[/tex] normalizzato

permutando i segni si ottengono le 8 basi cercate