GIMUSI wrote:dubbio 01: esistono modi alternativi più convenienti e rapidi per applicare il metodo 2 (ad es. tramite matrici)?
Grosse scorciatoie non ce ne sono, tranne ovviamente casi super-speciali che si vedono ad occhio. Come già detto, due matrici A e B rappresentano la stessa applicazione pur di scegliere bene la base in partenza ed arrivo (cioè [tex]B=M^{-1}AN[/tex]) per opportune M ed N invertibili delle dimensione giusta, se e solo se hanno lo stesso rango. Per trovare M ed N conviene portare sia A sia B alla forma canonica. Per passare alla forma canonica (cioè trovare le basi o le matrici, che è lo stesso) il metodo è quello indicato nella dimostrazione del teorema. Si trova una base per il ker (bisogna risolvere un sistema lineare omogeneo), la si completa ad una base dello spazio di partenza (questo si può fare sempre aggiungendo un po' di vettori della base canonica: perché?), poi si fa l'immagine dei vettori aggiunti (banale) e la si completa ad una base dello spazio di arrivo (anche qui si può fare con vettori della base canonica, il che semplifica il calcolo dell'inversa).
GIMUSI wrote:(c) matrice 2x2 con autovalori coincidenti (MA=2) e con MG=1; in tal caso la matrice di jordan è costituita da un blocco 2x2; la base jordanizzante (v,w) si determina con i seguenti sistemi:
[tex]Av=\lambda v[/tex]
[tex]Aw=\lambda w+v[/tex]
dubbio 02: se ho capito bene questi sistemi derivano direttamente ragionando sulla matrice jordanizzata…cioè sulla matrice associata ad f nella base (v,w)
Certamente: portare la matrice nella forma di Jordan è equivalente a trovare una base che verifica quelle due relazioni.
GIMUSI wrote:(e) la seconda intrusa è una matrice 3x3 con due autovalori coincidenti (MA=2) e con MG=1; in tal caso la matrice di jordan è costituita da un blocco 2x2 (relativo agli autovalori coincidenti) e da un blocco 1x1 relativo al terzo autovalore “buono” (MA=MG=1); i primi due vettori della base jordanizzante (relativi ai due autovalori coincidenti) si determinano in modo analogo al caso precedente 2x2 mediante i due sistemi già indicati (vd. dubbio 02); il terzo è l’autovettore relativo all’autovalore “buono”
Esatto
GIMUSI wrote:(f) intruse a parte, si tratta di matrici 3x3 con due autovalori coincidenti (MA=2) e con MG=1; il caso è del tutto analogo al precedente (vd. dubbio 02)
(g) intrusa a parte, si tratta di matrici 3x3 con tre autovalori coincidenti (MA=3) e con MG=1; in tal caso la matrice di jordan è costituita da un blocco 3x3; la base jordanizzante (v,w,z) si determina con i sistemi (vd. dubbio 2):
[tex]Av=\lambda v[/tex]
[tex]Aw=\lambda w+v[/tex]
[tex]Az=\lambda z+w[/tex]
l’intrusa è una matrice 3x3 con tre autovalori coincidenti (MA=3) e con MG=2; in tal caso la matrice di jordan comprende due blocchi (un blocco 2x2 ed un blocco 1x1)
Esatto
GIMUSI wrote:dubbio 03: è vero che in generale ad ogni autovalore (o ad autovalori coincidenti) con MG=k corrispondono k blocchi di jordan? (lo afferma il teorema di jordan?)
Certamente, è una immediata conseguenza di Jordan. Il teorema di Jordan afferma che si può portare la matrice nella forma di Jordan. A quel punto se si toglie lambda volte l'identità ci si trova un numero di colonne nulle uguale al numero dei blocchi. Le restanti colonne si verifica facilmente che sono linearmente indipendenti. Quindi MG è proprio il numero di blocchi.
GIMUSI wrote:per determinare la base jordanizzante il metodo visto in precedenza non funziona; ne ho trovata una per tentativi ma mi sfugge completamente la logica che ci sia dietro:
Beh, in realtà funziona. Devi risolvere
[tex]Av=\lambda v[/tex]
[tex]Aw=\lambda w+v[/tex]
[tex]Az=\lambda z[/tex]
In realtà è esattamente il sistema che hai impostato verso metà pagina del file che hai allegato, solo che nel risolverlo sei stato poco sistematico. La prima e la terza equazione sono sostanzialmente la stessa, come deve essere visto che l'autospazio ha dimensione 2. A quel punto devi tenerti la soluzione generica con i parametri, che nell'esempio sarebbe (a,b,0). Ora devi vedere per quali valori di a e b riesci a trovare w, e scopri che c'è una relazione tra a e b per cui questo accade (nell'esempio la relazione è a=b, ed infatti ad occhio tu usi (1,1,0)). A quel punto hai finito: fai in modo che la relazione sia verificata e hai v, poi trovi w (e sappiamo che si può), infine dai ad a e b altri due valori indipendenti da quelli usati per v e hai z. Spero che sia chiaro ...
Volendo essere più generalisti, v deve stare nel nucleo di [tex]A-\lambda I[/tex] (cioè nell'autospazio), ma anche nell'immagine di [tex]A-\lambda I[/tex] (in modo che esista w). Si tratta quindi di intersecare un ker con una immagine, operazione questa per cui ci siamo allenati tanto in esercizi precedenti.
GIMUSI wrote:dubbio 04:in questo caso (e in quelli generali) qual è la procedura per determinare la base jordanizzante?
Il caso generale è complicato. Come direbbe un mio collega, quando MA e MG sono uguali va tutto liscio. Quando sono diverse, c'è da soffrire. Quanto più sono diverse e grandi, tanto più si soffre. Pensiamo al caso di una 4*4, con un solo autovalore di MA 4 e MG 2. Com'è fatta la forma di Jordan? Sulla base di queste sole informazioni non è possibile decidere (tra cosa e cosa?). In questo caso si potrebbe decidere guardando il polinomio minimo (perché aiuterebbe?), ma non è difficile trovare casi in dimensione più alta in cui nemmeno il polinomio minimo basta, cioè conoscere polinomio minimo, caratteristico e le MG non basta per decidere la forma di Jordan (qual è la minima dimensione in cui questo accade?). Questo è il motivo per cui nel "saper fare", Jordan completa è prevista solo in dimensione bassa, o dimensione alta ma scarso gap tra MA e MG.
Questo ovviamente non vuol dire che non ci siano metodi, e nemmeno che siano particolarmente complicati (questioni di intersezioni tra ker e immagini, come accennavo sopra): semplicemente ci vorrebbero un paio di ore per descriverli decentemente, ed in un corso da 6 crediti quelle ore non ci sono.
Tutto questo per dire che anche determinare la forma di Jordan non è banale in generale. La ricerca della base invece non è poi così complicata, visto che si riduce al solito sistema.
(ma dove sono i 33 iscritti al primo appello?), intervengo facendo notare la fondamentale differenza tra gli esercizi della prima e quelli della seconda parte. La differenza non sta nell'avere sopra la matrice rettangolare e sotto matrici quadrate. 
e quindi per le matrici 2,3,5,7,8 soddisfano la richiesta.
). 
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