Rette e piani nello spazio 3

[GIMUSI]

allego le soluzioni del test n.12 "Rette e piani nello spazio 3"

nella rev01 su segnalazione di e.rapuano sono state corrette le soluzioni degli esercizi 6, 7 e 8

nella rev02 su segnalazione di alex994 è stato corretta la soluzione dell'esercizio 12

[e.rapuano]

Nel 5° esercizio, quando calcolo la distanza tra il piano e la retta paralleli, mi trovo come ti trovi tu solo se uso il metodo in cui trovo la forma cartesiana del piano e poi uso la formula della distanza di un punto dal piano...
Ma non dovrebbe funzionare anche facendo il vettore differenza tra il punto generico della retta e il punto di passaggio del piano, fare la norma al quadrato di tale vettore, minimizzare, ecc...?
E poi io al 6°,7° e 8° mi trovo rispettivamente (nella colonna C-P-I) C, P e I

[GIMUSI]

...Ma non dovrebbe funzionare anche facendo il vettore differenza tra il punto generico della retta e il punto di passaggio del piano, fare la norma al quadrato di tale vettore, minimizzare, ecc...?

cosa intendi per "punto di passaggio del piano"? se è uno di quelli dati per determinare il piano non funziona di certo...nel senso che minimizzando troveresti un vettore perpendicolare alla retta ma non necessariamente al piano

io ho fatto così...ho determinato la retta ortogonale al piano (cioè parallela alla normale) e passante per un punto della retta...poi trovo l'intersezione con il piano e calcolo la distanza...ti allego il calcolo per l'esercizio 5

E poi io al 6°,7° e 8° mi trovo rispettivamente (nella colonna C-P-I) C, P e I

ok li ricontrollo e poi ti dico

[GIMUSI]

E poi io al 6°,7° e 8° mi trovo rispettivamente (nella colonna C-P-I) C, P e I

hai ragione... dal 6° all' 8° non so perché ma ho cominciato a prendere il secondo punto non come punto ma come vettore velocità ...li rifaccio e poi aggiorno il file

[alex994]

scusa GIMUSI ma nel 12 il piano perpendicolare non è x+5y+5=0 invece di 2x+5y+5=0 ?

[GIMUSI]

scusa GIMUSI ma nel 12 il piano perpendicolare non è x+5y+5=0 invece di 2x+5y+5=0 ?

si hai ragione...ho considerato la normale giusta ma poi non so perché c'ho messo un due

il punto ti viene [tex](15/13,-16/13,3)[/tex] ?

[alex994]

scusa GIMUSI ma nel 12 il piano perpendicolare non è x+5y+5=0 invece di 2x+5y+5=0 ?

si hai ragione...ho considerato la normale giusta ma poi non so perché c'ho messo un due

il punto ti viene [tex](15/13,-16/13,3)[/tex] ?

si il punto è lo stesso

[GIMUSI]

...si il punto è lo stesso

bene...allora aggiorno la tabella in rev02

[Gabe]

Ragazzi una domanda, se io ho per esempio una retta definita così: (2, 2, 2)+t(1, 1, 1), la riscrivo in questo modo (2+t, 2+t, 2+t) a questo punto ho che x=y=z, arrivato a questo punto non riesco a scriverla in forma cartesiana, dove sbaglio?

Mi potreste anche spiegare come svolgere l'esercizio 12 di Rette nel piano 3?
Grazie mille in anticipo

[GIMUSI]

Ragazzi una domanda, se io ho per esempio una retta definita così: (2, 2, 2)+t(1, 1, 1), la riscrivo in questo modo (2+t, 2+t, 2+t) a questo punto ho che x=y=z, arrivato a questo punto non riesco a scriverla in forma cartesiana, dove sbaglio?

mi pare funzioni così:

nello spazio una retta si descrive in forma cartesiana (in infiniti modi) come intersezione di due piani

nel tuo caso ad esempio sulla base della relazione [tex]x=y=z[/tex] che hai determinato vanno bene i piani [tex]x=y[/tex] e [tex]y=z[/tex]

e anche i piani [tex]x=z[/tex] e [tex]x=y[/tex] descrivono la stessa retta

in generale vanno bene tutte le coppie di piani (non coincidenti) con normali (non parallele) ortogonali ad (1,1,1) e passanti per (2,2,2)

se provi a visualizzarlo graficamente la cosa è molto semplice

[Gabe]

mi pare funzioni così:

nello spazio una retta si descrive in forma cartesiana (in infiniti modi) come intersezione di due piani

nel tuo caso ad esempio sulla base della relazione [tex]x=y=z[/tex] che hai determinato vanno bene i piani [tex]x=y[/tex] e [tex]y=z[/tex]

e anche i piani [tex]x=z[/tex] e [tex]x=y[/tex] descrivono la stessa retta

in generale vanno bene tutte le coppie di piani (non coincidenti) con normali (non parallele) ortogonali ad (1,1,1) e passanti per (2,2,2)

se provi a visualizzarlo graficamente la cosa è molto semplice

Mi sa che continuo a sbagliare, poichè nell'esercizio 8 di Rette nel piano 3 mi vengono risultati diversi dai tuoi; ti spiego come faccio:
dai tre punti mi trovo il piano con equazione: [tex]x+y+4z-15=0[/tex], dagli altri due punti trovo: [tex](2,1,0)+t(-2,0,2)[/tex] e quindi [tex](2-2t,1,2t)[/tex], da cui viene: [tex]z=-x+2[/tex].

A questo punto inserisco al posto delle x,y,z del piano le corrispettive (2-2t,1,2t) e vedo che ho una soluzione per t, quindi sono incidenti. Sostituisco il t qui dentro:(2-2t,1,2t) e mi viene: (-2,1,4).

Per trovare il cos theta poi faccio il prodotto scalare tra (1,1,4) e (1,0,1), che sono i vettori che derivano dai coefficienti dell equazioni del piano e della retta, e mi viene = 5.
Lo pongo uguale alla norma di (1,1,4) * norma (1,0,1)* cos theta e da qui mi viene che il cos theta=5/rad(32).
Dove sbaglio?

[GIMUSI]

mi pare funzioni così:

nello spazio una retta si descrive in forma cartesiana (in infiniti modi) come intersezione di due piani

nel tuo caso ad esempio sulla base della relazione [tex]x=y=z[/tex] che hai determinato vanno bene i piani [tex]x=y[/tex] e [tex]y=z[/tex]

e anche i piani [tex]x=z[/tex] e [tex]x=y[/tex] descrivono la stessa retta

in generale vanno bene tutte le coppie di piani (non coincidenti) con normali (non parallele) ortogonali ad (1,1,1) e passanti per (2,2,2)

se provi a visualizzarlo graficamente la cosa è molto semplice

Mi sa che continuo a sbagliare, poichè nell'esercizio 8 di Rette nel piano 3 mi vengono risultati diversi dai tuoi; ti spiego come faccio:
dai tre punti mi trovo il piano con equazione: [tex]x+y+4z-15=0[/tex], dagli altri due punti trovo: [tex](2,1,0)+t(-2,0,2)[/tex] e quindi [tex](2-2t,1,2t)[/tex], da cui viene: [tex]z=-x+2[/tex].

A questo punto inserisco al posto delle x,y,z del piano le corrispettive (2-2t,1,2t) e vedo che ho una soluzione per t, quindi sono incidenti. Sostituisco il t qui dentro:(2-2t,1,2t) e mi viene: (-2,1,4).

Per trovare il cos theta poi faccio il prodotto scalare tra (1,1,4) e (1,0,1), che sono i vettori che derivano dai coefficienti dell equazioni del piano e della retta, e mi viene = 5.
Lo pongo uguale alla norma di (1,1,4) * norma (1,0,1)* cos theta e da qui mi viene che il cos theta=5/rad(32).
Dove sbaglio?

il fatto che i tuoi risultati non tornino coi miei non significa per forza che siano sbagliati i tuoi...anzi...sono tra i primi esercizi che ho fatto non li ho più ricontrollati e sono meno accurati degli altri

ora non ho tempo ma più tardi provo a rivederli e a confrontarli con i tuoi...poi ti dico

[GIMUSI]

Mi sa che continuo a sbagliare, poichè nell'esercizio 8 di Rette nel piano 3 mi vengono risultati diversi dai tuoi; ti spiego come faccio:
dai tre punti mi trovo il piano con equazione: [tex]x+y+4z-15=0[/tex], dagli altri due punti trovo: [tex](2,1,0)+t(-2,0,2)[/tex] e quindi [tex](2-2t,1,2t)[/tex], da cui viene: [tex]z=-x+2[/tex].

A questo punto inserisco al posto delle x,y,z del piano le corrispettive (2-2t,1,2t) e vedo che ho una soluzione per t, quindi sono incidenti. Sostituisco il t qui dentro:(2-2t,1,2t) e mi viene: (-2,1,4).

Per trovare il cos theta poi faccio il prodotto scalare tra (1,1,4) e (1,0,1), che sono i vettori che derivano dai coefficienti dell equazioni del piano e della retta, e mi viene = 5.
Lo pongo uguale alla norma di (1,1,4) * norma (1,0,1)* cos theta e da qui mi viene che il cos theta=5/rad(32).
Dove sbaglio?

ho verificato l'esercizio e riconfermo i risultati...allego qui lo svolgimento completo con alcune osservazioni riferite alla tua soluzione

mi pare che l'errore sia nell'individuazione del piano passante per i tre punti (che è con evidenza x=4)

[Gabe]

Grazie mille!!!
una domanda te se vuoi scrivere questa retta: (2-2t,1,2t) in forma cartesiana, come la scriveresti?
P.s. mi potresti anche dire come si svolge l'esercizio 12 sempre di Rette e piani nello spazio 3?

[GIMUSI]

una domanda te se vuoi scrivere questa retta: (2-2t,1,2t) in forma cartesiana, come la scriveresti?

valgono le indicazioni che ho dato in precedenza...basta scegliere due piani distinti del fascio che contiene la retta data

nel caso in questione la retta ha direzione [tex]v=(-2,0,2)[/tex]

le normali [tex]n=(x,y,z)[/tex] a [tex]v[/tex] sono del tipo [tex]n*v=0[/tex]: [tex]-2x+2z=0[/tex]

ad esempio [tex]n_1=(1,1,1)[/tex] e [tex]n_2=(1,-1,1)[/tex]

allora due piani distinti del fascio sono

[tex]x+y+z=d_1[/tex]

e

[tex]x-y+z=d_2[/tex]

[tex]d_1[/tex] e [tex]d_2[/tex] si determinano imponendo il passaggio per un punto della retta, ad esempio [tex](0,1,2)[/tex]

[tex]d_1 = 3[/tex]

[tex]d_2 = 1[/tex]

P.s. mi potresti anche dire come si svolge l'esercizio 12 sempre di Rette nel piano e nello spazio 3?

ti allego lo svolgimento...forse è un po' criptico ma la procedura dovrebbe essere chiara