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allego le soluzioni del test 24 "Cambi di base 1"

GIMUSI wrote:allego le soluzioni del test 24 "Cambi di base 1"

mi trovo con tutti, solo due cose!
negli esercizi 6 e 8 fai le inverse della 4x4 o c'è un modo più veloce per trovare le matrici?

mi potreste spiegare come risolvere quest esercizi?

Giorgio9092 wrote:

GIMUSI wrote:allego le soluzioni del test 24 "Cambi di base 1"

mi trovo con tutti, solo due cose!
negli esercizi 6 e 8 fai le inverse della 4x4 o c'è un modo più veloce per trovare le matrici?

per quel che ne so non vedo altre strade...se la matrice non è ortogonale o multipla di una ortogonale...bisogna calcolare l'inversa...e direi che per una 4x4..a meno che non sia piena zeppa di zeri...è conveniente farlo con gauss jordan

alex994 wrote:mi potreste spiegare come risolvere quest esercizi?

è tutto spiegato nella lezione 20...se ti è chiara non dovresti avere difficoltà nel fare questi esercizi...cerco di riassumerti qui le cose...faccio un po' di premessa e magari molte ti sono già chiare ma credo sia più utile così...

consideriamo un esempio in [tex]R^3[/tex]...per [tex]R^n[/tex] il discorso è identico

siano [tex](a,b,c)[/tex] le componenti di un vettore [tex]v[/tex] nella base canonica [tex]e_1,e_2,e_3[/tex]

quando scriviamo [tex]v=(a,b,c)[/tex] intendendiamo che [tex]v=ae_1+be_2+ce_3[/tex]

ora consideriamo un'altra base costituita dai vettori (linearmente indipendenti) [tex]v_1,v_2,v_3[/tex] (assegnati nella base canonica)

il problema è questo: in che modo si determinano le componenti del vettore [tex]v[/tex] rispetto alla nuova base?

ovvero...quali sono i coefficienti [tex]x,y,z[/tex] tali che [tex]v=xv_1+yv_2+zv_3[/tex]?

se consideriamo la matrice [tex]M[/tex] che ha per colonne le componenti (rispetto alla canonica) di [tex]v_1,v_2,v_3[/tex] il problema equivale a risolvere il sistema:

[tex]Mx=y[/tex]

dove

[tex]x[/tex] è il vettore colonna delle componenti incognite [tex](x,y,z)[/tex] di [tex]v[/tex] nella nuova base

[tex]y[/tex] è il vettore colonna delle componenti note di [tex]v[/tex] nella base canonica (=vecchia base)

la cosa davvero fondamentale capire il significato della matrice M

consideriamo ad esempio il vettore x=(1,0,0) che rappresenta le componenti di [tex]v_1[/tex] nella nuova base

il prodotto [tex]Mx[/tex] fornisce le componenti in base canonica di [tex]v_1[/tex] (= prima colonna di [tex]M[/tex]) e così via per gli altri vettori della nuova base

lo stesso discorso vale per qualsiasi vettore di componenti [tex]x=(x,y,z)[/tex] rispetto alla nuova base...il prodotto [tex]Mx[/tex] fornisce le componenti in base canonica di quel vettore

allora [tex]M[/tex] rappresenta il cambio di base dalla nuova base alla canonica

e dato che [tex]y=Mx[/tex] allora [tex]M^-^1y=x[/tex]

quindi la sua inversa (che esiste perché i [tex]v_i[/tex] sono l.ind.) [tex]M^-^1[/tex] rappresenta il cambio di base dalla canonica alla nuova base

la prima parte dell'esercizio chiede proprio questo: data una nuova base, determinare la matrice di cambio base dalla canonica alla nuova base

allora è sufficiente costruire, per ciascuna base, la matrice [tex]M[/tex] (mettendo in colonna i [tex]v_i[/tex] assegnati) ed invertirla...le [tex]M^-^1[/tex] sono la risposta delle prime due colonne dell'esercizio

nella seconda parte si chiede di fornire la matrice di cambio base dalla base [tex]B_1[/tex] alla base [tex]B_2[/tex] e c'è già tutto il necessario per risolverlo

indichiamo con [tex]M[/tex] la matrice di cambio base (nuova base --> canonica) per [tex]B_1[/tex] e con [tex]N[/tex] la matrice di cambio base (nuova base --> canonica) per [tex]B_1[/tex], allora per un generico vettore di componenti y (vettore colonna) nella base canonica risulta:

[tex]y=Mx_1[/tex]

[tex]y=Nx_2[/tex]

quindi

[tex]Mx_1=Nx_2[/tex]

e pertanto

[tex]x_1=M^-^1Nx_2[/tex]

quindi [tex]M^-^1N[/tex] rappresenta il cambio di base dalla base 2 alla base 1...ed è la risposta della terza colonna dell'esercizio

Gli esercizi in tabella mi vengono..ma non capisco come impostare l'ultimo esercizio: quello delle Matrici 2x2. Come mettro tra di loro le matrici di base!?

volm92 wrote:Gli esercizi in tabella mi vengono..ma non capisco come impostare l'ultimo esercizio: quello delle Matrici 2x2. Come mettro tra di loro le matrici di base!?

anche se la base sono matrici quando ragioni sulle componenti diventano vettori in [tex]R^4[/tex]

se assumi come base canonica le matrici 2x2 che hanno un solo 1 e tutti zero costruite procedendo riga per riga da sinistra verso destra allora (ma potresti farlo anche in altri modi)

la matrice [tex]v_1[/tex] è rappresentata dal vettore (1,1,1,0)

matrice [tex]v_2[/tex] è rappresentata dal vettore (1,1,0,1)

e così via...poi procedi come negli esercizi precedenti

Salve a tutti! su questi esercizi non ho capito come si fanno gli esercizi 7 e 8. sto provando in vari modi ma non riesco a raggiungere la soluzione. Potreste aiutarmi?

samuele_basile wrote:Salve a tutti! su questi esercizi non ho capito come si fanno gli esercizi 7 e 8. sto provando in vari modi ma non riesco a raggiungere la soluzione. Potreste aiutarmi?

quello dei polinomi di grado minore o uguale ad un n fissato è uno spazio vettoriale con base canonica [tex]1, x, x^2,...,x^n[/tex]

ad esempio per n=3 il polinomio [tex]3x^2+2x-1[/tex] nella base canonica è rappresentato dal vettore che ha componenti [tex](-1,2,3)[/tex]

detto questo, i procedimenti sono i medesimi impiegati per gli esercizi precedenti

in altri thread dovresti trovare altre indicazioni in merito, in particolare nelle schede relative agli spazi e sottospazi vettoriali

Perfetto, grazie mille!