Geometria nello spazio 1

[GIMUSI]

Nell'esercizio n.4 si chiede di determinare la distanza di un punto generico [tex]P=(x,y,z)[/tex] dalla retta [tex]r: (x_0,y_0,z_0)+t(x_1,y_1,z_1)[/tex].

Indicando con H il generico punto sulla retta, risulta: [tex]PH=(x_0+tx_1-x,y_0+ty_1-y,z_0+tz_1-z)[/tex].

Imponendo l'ortogonalita tra PH e il vettore velocità della retta [tex]v=(x_1,y_1,z_1)[/tex] si ottiene: [tex]t=\frac{x_1(x-x_0)+y_1(y-y_0)+z_1(z-z_0)}{x_1^2+y_1^2+z_1^2}[/tex].

Ora, sostituendo in PH e calcolando il modulo si ottiene la distanza richiesta.

Ho provato a determinare una soluzione generale ma l'espressione che ne deriva è estremamente complessa. Voi come avete fatto? ci sono modi di esprimere tale distanza in termini più semplici? Tra l'altro nell'esercizio seguente mi pare che tale espressione sia necessaria.

[nomeutente]

Esercizio 6: luogo dei punti equidistanti dai 3 vertici?
Che faccio?
Ho pensato di prendere un punto p (x,y,z) e con questo fare distanze dai vertici e metterle a sistema.

[GIMUSI]

Esercizio 6: luogo dei punti equidistanti dai 3 vertici?
Che faccio?
Ho pensato di prendere un punto p (x,y,z) e con questo fare distanze dai vertici e metterle a sistema.

anch'io ho fatto così...detti [tex]A,B,C[/tex] i tre vertici s'impongono le due condizioni:

[tex]d^2(PA)=d^2(PB)[/tex]

[tex]d^2(PA)=d^2(PC)[/tex]

i termini di secondo grado si elidono e si ottengono le equazioni di due piani, la loro intersezione individua la retta cercata

l'intersezione di questa retta con il piano contenente i vertici fornisce il circocentro richiesto nel punto seguente

allego per confronto le soluzioni che ho determinato per l'esercizio 6

[GIMUSI]

allego le soluzioni del test n.14 "Geometria nello spazio 1" in rev01

rispetto alla prima versione, gli esercizi 4, 5 e 9 sono stati riformulati secondo le preziose indicazioni e considerazioni fornite dal Prof. Gobbino e che trovate qui nel thread

[Massimo Gobbino]

Usiamo le notazioni vettoriali. La distanza (al quadrato) del punto x dalla retta [tex]P_0 + tv[/tex] è data dalla formula

[tex]\|x-P_0\|^2-\dfrac{\langle x-P_0,v \rangle^2}{\|v\|^2}[/tex]

Imponendo che quella roba faccia [tex]R^2[/tex], con un minimo di semplificazione ci troviamo

[tex]\|x-P_0\|^2\cdot\|v\|^2-\langle x-P_0,v \rangle^2=R^2\cdot\|v\|^2[/tex]

Se poi vogliamo tornare in componenti ed espandere, ci troviamo ovviamente un'equazione di secondo grado nelle componenti (x,y,z) del vettore x.

Un'altra cosa interessante da osservare è la seguente. Il lhs (abbreviazione internazionale di left-hand side) è del tipo

[tex]\|A\|^2\cdot\|B\|^2-\langle A,B \rangle^2[/tex]

Questa è un'espressione che abbiamo già trovato altre volte, specie nelle ultime lezioni, e coincide con <oggetto misterioso>, per lo meno nel caso di vettori in dimensione 3.

Per quanto riguarda il cono, se voglio il cono con vertice in [tex]P_0[/tex], direttrice [tex]P_0+tv[/tex] e angolo di apertura [tex]\theta[/tex], basta che imponga

[tex]\dfrac{\langle x-P_0,v \rangle}{\|x-P_0\|\cdot\|v\|}=\cos\theta[/tex]

Perché tutto ciò?

Facendo il quadrato e risistemando i denominatori, ancora una volta trovo un'equazione di secondo grado nelle componenti. Ora sarebbe interessante fare il limite *nell'equazione* quando [tex]\theta[/tex] tende ai valori estremi, e vedere che si ottiene proprio quanto previsto geometricamente. Questo era lo spirito dell'esercizio.

[GIMUSI]

Usiamo le notazioni vettoriali. La distanza (al quadrato) del punto x dalla retta [tex]P_0 + tv[/tex] è data dalla formula

[tex]\|x-P_0\|^2-\dfrac{\langle x-P_0,v \rangle^2}{\|v\|^2}[/tex]

chiaro...è il teorema di pitagora

Un'altra cosa interessante da osservare è la seguente. Il lhs (abbreviazione internazionale di left-hand side) è del tipo

[tex]\|A\|^2\cdot\|B\|^2-\langle A,B \rangle^2[/tex]

Questa è un'espressione che abbiamo già trovato altre volte, specie nelle ultime lezioni, e coincide con <oggetto misterioso>, per lo meno nel caso di vettori in dimensione 3.

...sembrerebbe l'area del parallelogrammo individuato da [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] al quadrato

Per quanto riguarda il cono, se voglio il cono con vertice in [tex]P_0[/tex], direttrice [tex]P_0+tv[/tex] e angolo di apertura [tex]\theta[/tex], basta che imponga

[tex]\dfrac{\langle x-P_0,v \rangle}{\|x-P_0\|\cdot\|v\|}=\cos\theta[/tex]

Perché tutto ciò?

chiaro anche questo...dal significato geometrico del prodotto scalare

Ora sarebbe interessante fare il limite *nell'equazione* quando [tex]\theta[/tex] tende ai valori estremi, e vedere che si ottiene proprio quanto previsto geometricamente. Questo era lo spirito dell'esercizio.

proverò a rifarlo con questa impostazione

[Massimo Gobbino]

Usiamo le notazioni vettoriali. La distanza (al quadrato) del punto x dalla retta [tex]P_0 + tv[/tex] è data dalla formula

[tex]\|x-P_0\|^2-\dfrac{\langle x-P_0,v \rangle^2}{\|v\|^2}[/tex]

chiaro...è il teorema di pitagora

o anche la sostituzione del tuo valore di t, scritto in notazione vettoriale, nella formula per la distanza al quadrato.

Un'altra cosa interessante da osservare è la seguente. Il lhs (abbreviazione internazionale di left-hand side) è del tipo

[tex]\|A\|^2\cdot\|B\|^2-\langle A,B \rangle^2[/tex]

Questa è un'espressione che abbiamo già trovato altre volte, specie nelle ultime lezioni, e coincide con <oggetto misterioso>, per lo meno nel caso di vettori in dimensione 3.

...sembrerebbe l'area del parallelogrammo individuato da [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] al quadrato

Certamente, il che si interpreta molto bene geometricamente. L'area del parallelogrammo che ha 3 vertici in [tex]P_0[/tex], [tex]P_0+v[/tex] e x dipende solo dalla distanza del terzo vertice, cioè il punto x, dalla retta che passa per i primi 2, che è proprio la retta data. Quindi imporre

distanza(x,retta) = costante

è equivalente a imporre Area(parallelogrammo) = costante.

Ora sarebbe interessante fare il limite *nell'equazione* quando [tex]\theta[/tex] tende ai valori estremi, e vedere che si ottiene proprio quanto previsto geometricamente. Questo era lo spirito dell'esercizio.

proverò a rifarlo con questa impostazione

Il caso in cui theta è 90 gradi si fa subito guardando la formula e osservando che il cos deve venire 0. L'altro caso è un attimo più delicato, ma istruttivo in quanto ha tante interpretazioni.

[GIMUSI]

ho rifatto gli esercizi in questione con l'approccio indicato (ora in rev01)...ed è tutta un'altra musica...diventa tutto molto più chiaro e gestibile

Usiamo le notazioni vettoriali. La distanza (al quadrato) del punto x dalla retta [tex]P_0 + tv[/tex] è data dalla formula

[tex]\|x-P_0\|^2-\dfrac{\langle x-P_0,v \rangle^2}{\|v\|^2}[/tex]

chiaro...è il teorema di pitagora

o anche la sostituzione del tuo valore di t, scritto in notazione vettoriale, nella formula per la distanza al quadrato.

nel rifare l'esercizio 4 ho visto che la formula pitagorica si ottiene "ortogonalizzando" [tex](P-P_0)[/tex] rispetto a v e calcolandone il modulo

Un'altra cosa interessante da osservare è la seguente. Il lhs (abbreviazione internazionale di left-hand side) è del tipo

[tex]\|A\|^2\cdot\|B\|^2-\langle A,B \rangle^2[/tex]

Questa è un'espressione che abbiamo già trovato altre volte, specie nelle ultime lezioni, e coincide con <oggetto misterioso>, per lo meno nel caso di vettori in dimensione 3.

...sembrerebbe l'area del parallelogrammo individuato da [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] al quadrato

Certamente, il che si interpreta molto bene geometricamente. L'area del parallelogrammo che ha 3 vertici in [tex]P_0[/tex], [tex]P_0+v[/tex] e x dipende solo dalla distanza del terzo vertice, cioè il punto x, dalla retta che passa per i primi 2, che è proprio la retta data. Quindi imporre

distanza(x,retta) = costante

è equivalente a imporre Area(parallelogrammo) = costante.

tutto chiaro anche qui...nell'esercizio 5 ho aggiunto anche questa osservazione e un disegnino

Ora sarebbe interessante fare il limite *nell'equazione* quando [tex]\theta[/tex] tende ai valori estremi, e vedere che si ottiene proprio quanto previsto geometricamente. Questo era lo spirito dell'esercizio.

proverò a rifarlo con questa impostazione

Il caso in cui theta è 90 gradi si fa subito guardando la formula e osservando che il cos deve venire 0. L'altro caso è un attimo più delicato, ma istruttivo in quanto ha tante interpretazioni.

anche per l'esercizio 9 con questo approccio è tutto molto più chiaro...ho visto che per il caso con [tex]\theta[/tex] che tende a zero l'espressione del cono equivale ad imporre il parallelismo tra [tex]v[/tex] e [tex](P.P_0)[/tex]

[antonio]

ho rifatto gli esercizi in questione con l'approccio indicato (ora in rev01)...ed è tutta un'altra musica...diventa tutto molto più chiaro e gestibile

[

proverò a rifarlo con questa impostazione

Il caso in cui theta è 90 gradi si fa subito guardando la formula e osservando che il cos deve venire 0. L'altro caso è un attimo più delicato, ma istruttivo in quanto ha tante interpretazioni.

anche per l'esercizio 9 con questo approccio è tutto molto più chiaro...ho visto che per il caso con [tex]\theta[/tex] che tende a zero l'espressione del cono equivale ad imporre il parallelismo tra [tex]v[/tex] e [tex](P.P_0)[/tex]

Avrei bisogno di un aiuto per quanto riguarda la parte finale dell'esercizio 9 come riportato da GIMUSI nell'allegato pdf.
Non mi è chiaro come si giunge alll'interpretazione delle componenti del vettore V e la condizione di parallelismo.
Il Prof. parla anche di altre possibili interpretazioni....vorrei approfondire l'argomento qualcuno può darmi indicazioni ?

tnx

[GIMUSI]

...

Avrei bisogno di un aiuto per quanto riguarda la parte finale dell'esercizio 9 come riportato da GIMUSI nell'allegato pdf.
Non mi è chiaro come si giunge alll'interpretazione delle componenti del vettore V e la condizione di parallelismo.
Il Prof. parla anche di altre possibili interpretazioni....vorrei approfondire l'argomento qualcuno può darmi indicazioni ?

tnx

è trascorso un bel po' di tempo ma ho cercato di ricostruire i passaggi

forse ha creato un po' di confusione il fatto che ho utilizzato alla fine lo stesso simbolo v (rooso) impiegato all'inizo dell'esercizio (nero)

ma l'ultimo v (quello in rosso per intenderci) non ha nulla a che fare con il primo (nero)

riguardo all'interpretazione per \(\theta \rightarrow 0\) l'espressione è equivalente ad annullare il modulo di un vettore "v rosso" la cui espressione corrisponde al prodotto vettoriale del "v nero" e del vettore \(P-P_0\), pertanto questi ultimi due sono paralleli

non so quali possano essere le ulteriori interpretazioni

[antonio]

Grazie ...provo a rivedere tenendo conto dei tuoi suggerimenti.

In merito alle interpretazione mi riferivo a quanto aveva consigliato il Prof. Gobbino nei messaggi precedenti:

Il caso in cui theta è 90 gradi si fa subito guardando la formula e osservando che il cos deve venire 0. L'altro caso è un attimo più delicato, ma istruttivo in quanto ha tante interpretazioni.

[antonio]

Ok. adesso è tutto più chiaro, (prodotto vettoriale) diciamo che mancavano alcuni tasselli che si trovano più avanti nel corso rispetto alla cronologia degli esercizi.
Grazie per l'aiuto.