Sottospazi vettoriali 5

[AntiLover]

Mi scusi Prof, dopo aver determinato se V e W sono in somma diretta, non riesco a capire come proseguire. Cosa dovrei fare? Grazie

[GIMUSI]

mi pare che un esempio sul da farsi sia quello sviluppato nella lezione 36

se la somma è diretta esistono le proiezioni e si costruiscono:

- per ciascun sottospazio le matrici A di proiezione (con input e output nella base non canonica) o A* (input non canonico e output canonico)

- la matrice di cambio di base M (input non canonico e output canonico)

- le matrici di proiezione in base canonica: [tex]MAM^-^1[/tex] oppure [tex]A^*M^-^1[/tex]

[GIMUSI]

allego i risultati del test n.27 "Sottospazi vettoriali 5"

[AntiLover]

Scusami GIMUSI, ma ho davvero difficoltà a risolvere questo esercizio Potresti svolgerne uno dalla tabella? così vedo esattamente dove sbaglio. Grazie

[GIMUSI]

Scusami GIMUSI, ma ho davvero difficoltà a risolvere questo esercizio Potresti svolgerne uno dalla tabella? così vedo esattamente dove sbaglio. Grazie

allego lo svolgimento dei primi due...il procedimento è quello che ho descritto in precedenza

[AntiLover]

Grazie mille!!!

[Angelica27]

GIMUSI, perché V e W nel numero 3 non sono in somma diretta? Non mi torna.

[GIMUSI]

GIMUSI, perché V e W nel numero 3 non sono in somma diretta? Non mi torna.

sono in somma diretta su un piano ma non su [tex]R^3[/tex]

[Angelica27]

Thank you very much!

[e.rapuano]

A me non è molto chiaro come trovare la matrice della proiezione per ognuno dei sottospazi V e W...cioè...
prendo ad esempio il primo esercizio:
siamo d'accordo che X è somma diretta di V e W, quindi ha come base i 2 vettori (2,3) e (1,1)...
ora, se prendo un qualsiasi vettore di R^2 questo dovrà essere espresso in modo unico come somma di un elemento di V e uno di W...
Trovare la matrice di proiezione relativa a V...che significa? Graficamente che si sta cercando di fare?
Probabilmente non mi sto spiegando....allora se prendo ad esempio il vettore (2,3), la sua proiezione su V è (1,0)?? e invece la proiezione del vettore (1,1) qual è?

[GIMUSI]

...Trovare la matrice di proiezione relativa a V...che significa? Graficamente che si sta cercando di fare?
Probabilmente non mi sto spiegando....allora se prendo ad esempio il vettore (2,3), la sua proiezione su V è (1,0)?? e invece la proiezione del vettore (1,1) qual è?

con riferimento al primo esercizio credo che la matrice di proiezione [tex]V_1[/tex] funzioni in questo modo:

- qualsiasi vettore appartenente a [tex]V[/tex], cioè del tipo [tex](2t,3t)[/tex] va in se stesso: [tex]V_1*(2t,3t)=(2t,3t)[/tex]; il che equivale a dire che [tex](2t,3t)[/tex] è autovettore/spazio di [tex]V_1[/tex] con autovalore [tex]1[/tex];

- qualsiasi vettore appartenente a [tex]W[/tex], cioè del tipo [tex](t,t)[/tex] va in 0: [tex]V_1*(t,t)=(0,0)[/tex]; il che equivale a dire che (t,t) è autovettore/spazio di [tex]V_1[/tex] con autovalore [tex]0[/tex];

un discorso analogo vale per [tex]W_1[/tex]

ora se si considera un vettore generico diciamo (5,-1) allora:

- [tex]V_1*(5,-1)=(-12,-18)[/tex]

- [tex]W_1*(5,-1)=(17,17)[/tex]

i due vettori ottenuti sono le proiezioni del vettore [tex](5,-1)[/tex] sui due sottospazi nel senso che:

[tex](5,-1)=(-12,-18)+(17,17)=-6*(2,3)+17*(1,1)[/tex]

quindi "[tex]-6[/tex]" e "[tex]17[/tex]" sono le componenti di [tex](5,1)[/tex] nella base [tex](2,3)[/tex] e [tex](1,1)[/tex]

[e.rapuano]

Quindi in definitiva quando parliamo di "proiezione" non intendiamo la normale proiezione ortogonale (perchè questa si ha solo quando i sottospazi V e W sono uno l'ortogonale dell'altro), ma stiamo invece cambiando gli assi di riferimento...nel senso che (nel primo esercizio) non abbiamo l'asse x e l'asse y ma queste 2 rette rappresentate da V e W, di conseguenza le "proiezioni" non sono cateti di un triangolo rettangolo! Non so se ho detto cose sensate...
Quindi trovare la matrice che rappresenta la proiezione su un sottospazio V ha senso solo se abbiamo un altro sottospazio W?
Capita sempre che per trovare la matrice di proiezione su un sottospazio di base {v1,v2,...vn} basta inserire v1,...vn nella matrice come colonne e mettere zeri nel resto della matrice?

Scusa se sono troppe domande, ma è meglio togliersi i dubbi una volta per tutte! XD

E comunque...un'altra cosa: nell'esercizio 4, V e W rappresentano 2 piani (quindi di dimensione 2) in R^3....la somma delle loro dimensioni è dunque 4...questa cosa come viene interpretata? cioè...nel caso di intersezione di dimensione 0 (2 piani paralleli) avremmo somma diretta in R^4, ma in R^3 cosa sarà?
Nel caso dell'esercizio in questione l'intersezione ha invece dimensione 1, mentre il sottospazio somma V+W ha dimensione 3...il fatto che siamo in R^3 però non implica che ci sia somma diretta perchè l'intersezione non ha comunque dimensione 0 ?

Mi scuso nuovamente per la marea di domande che ho posto!

[GIMUSI]

Quindi in definitiva quando parliamo di "proiezione" non intendiamo la normale proiezione ortogonale (perchè questa si ha solo quando i sottospazi V e W sono uno l'ortogonale dell'altro), ma stiamo invece cambiando gli assi di riferimento...nel senso che (nel primo esercizio) non abbiamo l'asse x e l'asse y ma queste 2 rette rappresentate da V e W, di conseguenza le "proiezioni" non sono cateti di un triangolo rettangolo! Non so se ho detto cose sensate...

sì direi che è un caso più generale di proiezione...personalmente non parlerei di cambio di assi...la matrice di proiezione su un sottospazio V fa quello che le chiediamo di fare: se v appartiene a V allora Pv=v se w appartiene a W allora Pw=0

Quindi trovare la matrice che rappresenta la proiezione su un sottospazio V ha senso solo se abbiamo un altro sottospazio W? :

per averla in base canonica quello che serve è poter costruire M...quindi è sufficiente completare la base di V...e se W è in somma diretta la sua base va più che bene

Capita sempre che per trovare la matrice di proiezione su un sottospazio di base {v1,v2,...vn} basta inserire v1,...vn nella matrice come colonne e mettere zeri nel resto della matrice?

sì..se li metti in base [tex]{v_1,v_2,...v_n}[/tex] la matrice di proiezione si ottiene con [tex]MAM^-^1[/tex]...se li metti in canonica la matrice di proiezione si ottiene con [tex]AM^-^1[/tex]

E comunque...un'altra cosa: nell'esercizio 4, V e W rappresentano 2 piani (quindi di dimensione 2) in R^3....la somma delle loro dimensioni è dunque 4...questa cosa come viene interpretata? cioè...nel caso di intersezione di dimensione 0 (2 piani paralleli) avremmo somma diretta in R^4, ma in R^3 cosa sarà?

visto che si parla di sottospazi vettoriali 2 piani paralleli sono necessariamente coincidenti quindi la dimensione dell'intersezione sarebbe 2

Nel caso dell'esercizio in questione l'intersezione ha invece dimensione 1, mentre il sottospazio somma V+W ha dimensione 3...il fatto che siamo in R^3 però non implica che ci sia somma diretta perchè l'intersezione non ha comunque dimensione 0 ?

esatto come da definizione...rispetto ai due piani infatti un vettore in [tex]R^3[/tex] non ha rappresentazione unica

[Massimo Gobbino]

Quindi in definitiva quando parliamo di "proiezione" non intendiamo la normale proiezione ortogonale (perchè questa si ha solo quando i sottospazi V e W sono uno l'ortogonale dell'altro), ma stiamo invece cambiando gli assi di riferimento...nel senso che (nel primo esercizio) non abbiamo l'asse x e l'asse y ma queste 2 rette rappresentate da V e W, di conseguenza le "proiezioni" non sono cateti di un triangolo rettangolo! Non so se ho detto cose sensate...

Diciamo che sono cose abbastanza sensate, nel senso che stai descrivendo la situazione nel caso in cui V e W sono sottospazi di dimensione 1 del piano. Le proiezioni non sono cateti di un triangolo rettangolo, ma lati di un parallelogrammo storto. La cosa cambia un po' in dimensione più alta, quando geometricamente è tutto meno disegnabile.

Quindi trovare la matrice che rappresenta la proiezione su un sottospazio V ha senso solo se abbiamo un altro sottospazio W?

Diciamolo decentemente: dato un sottospazio V, *non* ha senso definire la proiezione su V e basta. Ha senso definire la proiezione su V come primo termine di una somma diretta V+W. Detto altrimenti: W diversi producono proiezioni su V diverse, anche se V è sempre lo stesso. In poche parole: per fare una proiezione bisogna essere in 2; per definire la proiezione su V, serve anche W.

Il caso della proiezione ortogonale è solo formalmente diverso: infatti si definisce la proiezione su V pensando che il W sia l'ortogonale di V.

In tutto questo le matrici non c'entrano nulla: il problema sta già nel definire la proiezione.

Capita sempre che per trovare la matrice di proiezione su un sottospazio di base {v1,v2,...vn} basta inserire v1,...vn nella matrice come colonne e mettere zeri nel resto della matrice?

Questo è troppo vago: dipende quale matrice vuoi trovare, cioè è chiaro che vuoi trovare la matrice della proiezione su V, ma non è chiaro con quali basi in partenza ed arrivo.

E comunque...un'altra cosa: nell'esercizio 4, V e W rappresentano 2 piani (quindi di dimensione 2) in R^3....la somma delle loro dimensioni è dunque 4...questa cosa come viene interpretata? cioè...nel caso di intersezione di dimensione 0 (2 piani paralleli) avremmo somma diretta in R^4, ma in R^3 cosa sarà?

Occhio: in questo contesto si parla di proiezioni su *sottospazi vettoriali*, quindi i piani paralleli non possono presentarsi, visto che tutto passa comunque per l'origine.

[e.rapuano]

Occhio: in questo contesto si parla di proiezioni su *sottospazi vettoriali*, quindi i piani paralleli non possono presentarsi, visto che tutto passa comunque per l'origine.

Ah, giusto!

Costruendo la matrice così come ho detto otteniamo la matrice che rappresenta la proiezione su V avendo in partenza la base di V e in arrivo la base canonica, no?