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Come da tradizione, ecco la simulazione di scritto settimanale. Se però non serve a nulla ditelo, che trovo di meglio da fare .

per il primo esercizio ho ottenuto:

(a) [tex]\left(\dfrac{-75}{29},\dfrac{50}{29},\dfrac{45}{29}\right)[/tex]

(b) [tex](-3,2,1)+t\left(4,\dfrac{4\pm8\sqrt{2}}{5},\dfrac{-8\pm4\sqrt{2}}{5}\right)[/tex]

(c) [tex]x-2y+4z+3=0[/tex]

per il secondo esercizio

(a) basi ortonormali

base ortonormale per [tex]V[/tex]

[tex]v_1 = (\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}},0) \: v_2 = (0,\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}})[/tex]

base ortonormale per [tex]V^\perp[/tex]

[tex]w_1 = (\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}},0) \: w_2 = (0,\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}})[/tex]

(b) matrice proiezione ortogonale su [tex]V[/tex]

[tex]\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\
\end{pmatrix}[/tex]

per il terzo esercizio

(a) esistenza e unicità dell'applicazione

[tex]\beta\neq2,\:\beta\neq-1,\alpha\in\mathbb{R}[/tex]

(b) dimensione del ker(f)

[tex]\alpha\neq-1\Rightarrow\:\dim(\ker(f))=0[/tex]

[tex]\alpha=-1\Rightarrow\:\dim(\ker(f))=1[/tex]

GIMUSI wrote:per il primo esercizio ho ottenuto:

(a) [tex]\left(\dfrac{-75}{29},\dfrac{50}{29},\dfrac{45}{29}\right)[/tex]

(b) [tex](-3,2,1)+t\left(4,\dfrac{4\pm8\sqrt{2}}{5},\dfrac{-8\pm4\sqrt{2}}{5}\right)[/tex]

(c) [tex]x-2y+4z+3=0[/tex]

Come ti è venuta l' equazione del piano? Io ho provato a costruire la retta passante per il punto D e perpendicolare al piano ABC ma trovo dei punti diversi che non mi soddisfano neanche l' appartenenza! Non trovo l' errore.

GIMUSI wrote:per il secondo esercizio

(a) basi ortonormali

base ortonormale per [tex]V[/tex]

[tex]v_1 = (\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}},0) \: v_2 = (0,\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}})[/tex]

base ortonormale per [tex]V^\perp[/tex]

[tex]w_1 = (\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}},0) \: w_2 = (0,\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}})[/tex]

(b) matrice proiezione ortogonale su [tex]V[/tex]

[tex]\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\
\end{pmatrix}[/tex]

Questo ok, ma per trovare la matrice basta solo mettere i vettori trovati in precedenza?

Giorgio9092 wrote:

GIMUSI wrote:per il primo esercizio ho ottenuto:

(a) [tex]\left(\dfrac{-75}{29},\dfrac{50}{29},\dfrac{45}{29}\right)[/tex]

(b) [tex](-3,2,1)+t\left(4,\dfrac{4\pm8\sqrt{2}}{5},\dfrac{-8\pm4\sqrt{2}}{5}\right)[/tex]

(c) [tex]x-2y+4z+3=0[/tex]

Come ti è venuta l' equazione del piano? Io ho provato a costruire la retta passante per il punto D e perpendicolare al piano ABC ma trovo dei punti diversi che non mi soddisfano neanche l' appartenenza! Non trovo l' errore.

visto che il piano contiene il vettore CD ed è parallelo ad AB, una sua normale è data un qualsiasi vettore ortogonale a CD e AB

con la "formula misteriosa" si trova [tex]n=(-1,2,-4)[/tex] da cui [tex]x-2y+4z+d=0[/tex]

il parametro [tex]d[/tex] è detrminato imponendo il passaggio per C o per D

GIMUSI wrote: visto che il piano contiene il vettore CD ed è parallelo ad AB, una sua normale è data un qualsiasi vettore ortogonale a CD e AB

con la "formula misteriosa" si trova [tex]n=(-1,2,-4)[/tex] da cui [tex]x-2y+4z+d=0[/tex]

il parametro [tex]d[/tex] è detrminato imponendo il passaggio per C o per D

Scusa ma non ho capito, perchè il piano dovrebbe contenere CD? E CD parallelo a AB? Quelle non sono solo le condizioni richieste dell' ultimo punto?

Giorgio9092 wrote: Questo ok, ma per trovare la matrice basta solo mettere i vettori trovati in precedenza?

io ho fatto così:

- si determina la matrice [tex]A[/tex] di proiezione su [tex]V[/tex] mettendo nelle prime due colonne [tex]v_1[/tex] e [tex]v_2[/tex] (in base canonica) con le restanti due nulle;

- in tal modo la matrice di proiezione A prende in input vettori in base [tex]v_1,v_2,w_1,w_2[/tex] e ne restituisce la proiezione su [tex]V[/tex] in base canonica;

- si costruisce la matrice [tex]M[/tex] di cambio di "base non canonica"[tex]\rightarrow[/tex]"base canonica", cioè la matrice che ha come colonne [tex]v_1,v_2,w_1,w_2[/tex] in base canonica;

- si inverte M (qui conviene sfruttare il fatto che M è multiplo di una matrice ortogonale);

- si determina la matrice di proiezione nella base canonica [tex]AM^-^1[/tex]

Giorgio9092 wrote:
Scusa ma non ho capito, perchè il piano dovrebbe contenere CD? E CD parallelo a AB? Quelle non sono solo le condizioni richieste dell' ultimo punto?

pensavo ti riferissi la punto (c), invece mi pare che tu stia parlando del punto (a)

Si, era il piano del punto a che ti chiedevo!

Effettivamente non si capiva! Ho riletto ora scusa

Giorgio9092 wrote:Effettivamente non si capiva! Ho riletto ora scusa

per il piano [tex]ABC[/tex] ho determinato la normale ai vettori [tex]AB[/tex] e [tex]AC[/tex] [tex]n=(3,-2,4)[/tex] e ho imposto il passaggio per [tex]C (d=5)[/tex]: [tex]3x-2y+4z+5=0[/tex]

la retta ortogonale al piano e passante per [tex]D[/tex] è [tex](-3+3t,2-2t,1+4t)[/tex]

imponendo l'appartenenza al piano si trova [tex]t=4/29[/tex]

Scusate, qualcuno può spiegarmi come si fa il 3° esercizio?
Cioè come faccio a studiare l'esistenza dell'applicazione al variare di alfa e beta?

Neomatrix092 wrote:Scusate, qualcuno può spiegarmi come si fa il 3° esercizio?
Cioè come faccio a studiare l'esistenza dell'applicazione al variare di alfa e beta?

la risposta è nella lezione 16 "Teorema di struttura: una applicazione lineare è univocamente determinata dai valori che assume in una base"

quindi dovrebbe essere sufficiente trovare i valori di alfa e beta che rendono i vettori di partenza una base

se sono una base li puoi mandare dove vuoi, quindi alfa dovrebbe poter esser libero