Forme quadratiche 1

[GIMUSI]

...Sembrerebbe di aver concluso ancora più facilmente, ma in realtà non è così perché ... e qui lascio a voi il piacere della scoperta!

quindi per il caso ++0+++ la segnatura non è ++++-- ?

davvero non me lo spiego...l'unico ragionamento che riesco ad elaborare è il seguente...

- il minore ++ assicura che ci sia un sottospazio di dimensione 2 nel quale la forma è def positiva (= 2 autovalori positivi)

- il minore ++0+ dà le possibilità (++++,++--,----) delle quali si salva solo la ++--

- il minore ++0++ dà (+++++,+++--,+----) delle quali si salva solo la +++--

- infine ++0+++ dà (++++++,++++--,++----,------) delle quali si dovrebbe salvare solo la ++++--

più che il piacere della scoperta in questi momenti prende il sopravvento la disperazione dell'ignoranza ...

[Massimo Gobbino]

- il minore ++0+ dà le possibilità (++++,++--,----) delle quali si salva solo la ++--

Ma si salva davvero?

[e.rapuano]

Ma quando viene chiesto di trovare i sottospazi definiti positivi/negativi, basta prendere gli span degli autovettori relativi agli autovalori positivi/negativi che siano?

[Massimo Gobbino]

Ma quando viene chiesto di trovare i sottospazi definiti positivi/negativi, basta prendere gli span degli autovettori relativi agli autovalori positivi/negativi che siano?

Teoricamente sì, però spesso accade che gli autovalori, dunque gli autovettori, siano incalcolabili perché coinvolgono equazioni di terzo grado od oltre. Quindi quello è un vicolo cieco.

Occhio poi che "i sottospazi definiti positivi/negativi" non vuol dire sostanzialmente nulla. Il modo corretto di dirlo è "sottospazi su cui la forma è definita positiva/negativa" e anche sull'articolo bisogna essere cauti, in quanto non sono per nulla unici. E proprio su questa non unicità si gioca la possibilità di trovarli in maniera facile. Quelli generati dagli autovettori sarebbero perfetti, ma non sono calcolabili praticamente; fortunatamente, non essendo unici, se ne trovano facilmente degli altri, ad esempio quelli dati dal completamento dei quadrati.

[e.rapuano]

Com'è che si trovano i sottospazi col metodo del completamento dei quadrati?

[GIMUSI]

Com'è che si trovano i sottospazi col metodo del completamento dei quadrati?

considera come esempio la forma quadratica:

[tex]q(x,y)=x^2+2xy+y^2[/tex]

con il completamento dei quadrati diventa:

[tex]q(x,y)=(x+y)^2[/tex]

allora [tex]q(x,y)=0[/tex] nel sottospazio [tex]x=-y[/tex]

nella lezione 50 e 51 ci sono vari esempi meno banali

e anche negli esercizi "Forme quadratiche 1"

[e.rapuano]

Quindi, in generale, se ho una forma quadratica, questa può essere anche indefinita ma ci potranno essere sottospazi su cui sarà definita positiva/negativa di dimensione massima uguale al numero di autovalori del segno corrispondente.
Cioè: se ho una forma quadratica indefinita e dalla sua matrice associata trovo 2 autovalori negativi, 1 positivo e uno nullo (ad esempio) potrò avere sottospazi di dimensione massima 2 su cui la forma sarà definita negativa,
sottospazi di dimensione massima 1 su cui la forma sarà definita positiva,
sottospazi di dimensione massima 1 su cui la forma sarà nulla...

e per i casi di semidefinita positiva e negativa?

Se invece già dall'inizio la forma quadratica è definita positiva, vuol dire che su ogni sottospazio sarà definita positiva?

Detto questo...scrivo un sottospazio come combinazione lineare della sua base e poi come vettore unico e sostituisco nella forma quadratica per verificare che la forma quadratica sia definita positiva/negativa/nulla su quel sottospazio...

Mentre uso il completamento dei quadrati sulla forma quadratica per "scoprire" su quali sottospazi la forma sarà definita positiva/negativa/nulla...

E' giusto tutto ciò?!

[GIMUSI]

- il minore ++0+ dà le possibilità (++++,++--,----) delle quali si salva solo la ++--

Ma si salva davvero?

ci ho ripensato su e sono arrivato alle seguenti conclusioni

1) partendo dal caso 2x2 mi pare che non sia possibile avere una sequenza di determinanti sui minori del tipo: [tex]0+[/tex]
questo si può spiegare almeno in due modi:
- la matrice (reale) è simmetrica quindi, se il minore principale di ordine 1 è nullo, il determinante di ordine 2 è necessariamente negativo
- in termini di segnatura/autovalori il [tex]+[/tex] finale significa che il prodotto scalare o è definito positivo o è definito negativo ed entrambe queste circostanze sono incompatibili con lo [tex]0[/tex] del primo minore;
- in termini di sottospazi accade che il sottospazio di dimensione 2 sul quale il prodotto scalare è definito positivo (o negativo) non interseca lo spazio di dimensione 1 relativo al primo minore

2) per ragioni analoghe nel caso 3x3 dovrebbero essere sequenze non ammissibili ad esempio la [tex]0++[/tex] e la [tex]+0+[/tex]
in entrambi i casi infatti l’unica possibile segnatura (oltre alla esclusa d’ufficio [tex]+++[/tex]) risulta [tex]--+[/tex] e il sottospazio di dimensione 2 sul quale il prodotto scalare è definito negativo non interseca il sottospazio di dimensione 2 relativo al minore di ordine 2

3) nel caso 4x4 per la sequenza [tex]++0+[/tex] l’unica possibile segnatura (oltre alle escluse d’ufficio [tex]++++[/tex] e [tex]----[/tex]) risulta [tex]++--[/tex] e il relativo sottospazio di dimensione 4 non interseca il sottospazio di dimensione 3 relativo al minore [tex]++0[/tex]

in conclusione mi pare che esistano sequenze di determinanti sui minori principali non compatibili con le matrici simmetriche (associate ai prodotti scalari)

[Massimo Gobbino]

in conclusione mi pare che esistano sequenze di determinanti sui minori principali non compatibili con le matrici simmetriche (associate ai prodotti scalari)

Esatto, ed il primo esempio 6*6 che avevo proposto era proprio uno di questi. Lo so, sono stato cattivo .

[GIMUSI]

in conclusione mi pare che esistano sequenze di determinanti sui minori principali non compatibili con le matrici simmetriche (associate ai prodotti scalari)

Esatto, ed il primo esempio 6*6 che avevo proposto era proprio uno di questi. Lo so, sono stato cattivo .

il famigerato trappolone del prof ...però devo dire davvero molto istruttivo...ho sognato sottospazi per tutta la notte

[GIMUSI]

Quindi, in generale, ...
E' giusto tutto ciò?!

proprio tutto tutto non credo sia giusto...ma non mi sbilancio in risposte che potrebbero essere non del tutto corrette

di certo non è corretta la seguente (vd. test n.46 e precedenti commenti del prof qui nel thread)

sottospazi di dimensione massima 1 su cui la forma sarà nulla...

ed è corretta la seguente (che vale anche per le definite negative)

Se invece già dall'inizio la forma quadratica è definita positiva, vuol dire che su ogni sottospazio sarà definita positiva?

[Pirello]

@GIMUSI: Non ho ben capito cosa fai al punto S del secondo esercizio, come lo imposti il sistema??

[GIMUSI]

@GIMUSI: Non ho ben capito cosa fai al punto S del secondo esercizio, come lo imposti il sistema??

è solo un metodo per ottenere i tre termini misti

a lezione (la n.51 dello scorso anno) era stato mostrato il metodo per scrivere "xy" come differenza di quadrati

questo è un modo analogo per scriverne tre

[Pirello]

@GIMUSI: Non ho ben capito cosa fai al punto S del secondo esercizio, come lo imposti il sistema??

è solo un metodo per ottenere i tre termini misti

a lezione (la n.51 dello scorso anno) era stato mostrato il metodo per scrivere "xy" come differenza di quadrati

questo è un modo analogo per scriverne tre

Ma è valido sempre questo modo di procedere?

[GIMUSI]

Ma è valido sempre questo modo di procedere?

direi di sì, per forme quadratiche del tipo [tex]axy+bxz+cyz[/tex]

nel caso di più di tre componenti non saprei, bisognerebbe provare