Forme canoniche 3

[matt_93]

scusate una domanda teorica:
una matrice A non diagonalizzabile si può sempre jordanizzare e trovare la matrice (non unica ed invertibile) per cui vale
[tex]M^{-1}AM=J[/tex]
quello che non ho capito è come diviene [tex]J[/tex], cioè come faccio a sapere quanti blocchi di jordan ha? e la dimensione di tali blocchi? si vede dalla molteplicità?


inoltre non ho capito come si procede, nel caso io abbia una una matrice diagonalizzabile sui complessi, al fine di trovare la forma di Jordan sui reali.

insomma: questo Jordan non mi entra in testa!

[GIMUSI]

una matrice A non diagonalizzabile si può sempre jordanizzare e trovare la matrice (non unica ed invertibile) per cui vale
[tex]M^{-1}AM=J[/tex]
quello che non ho capito è come diviene [tex]J[/tex], cioè come faccio a sapere quanti blocchi di jordan ha? e la dimensione di tali blocchi? si vede dalla molteplicità?

prova a dare un'occhiata ai thread in "Forme canoniche 1" (ci sono una serie di risposte del prof a domande specifiche) e in "Domanda Autovettori/Autospazi"

inoltre non ho capito come si procede, nel caso io abbia una una matrice diagonalizzabile sui complessi, al fine di trovare la forma di Jordan sui reali

il procedimento è quello spiegato nella lezione 44...ti consiglio di riguardare con attenzione i 2 "teoremoni" considerando che:

- la forma di jordan esiste sempre (per matrici a coefficienti reali o complessi);

- la forma di jordan reale è riferita a matrici a coefficienti reali (i blocchi coniugati relativi agli autovalori complessi si possono trasformare in corrispondenti blocchi reali).

per determinare la base jordanizzante invece valgono le indicazioni della lezione 58

[e.rapuano]

Nell'esercizio 4a:
Quando si deve trovare la matrice M di cambio di base, essendo la forma canonica una forma di jordan, gli autovettori rispetto ai 2 autovalori "zero" non si sarebbero potuti trovare con la formula:
v1 = base del Ker (A) (dato che l'autovalore a cui si riferisce è zero)
A*v2 = 0*v2 + v1 --> Av2 = v1

in realtà facendo in questo modo (dopo aver trovato anche l'autovettore v3 relativo all'autovalore 1) la matrice M che si trova non è invertibile...come mai?

[GIMUSI]

Nell'esercizio 4a:
Quando si deve trovare la matrice M di cambio di base, essendo la forma canonica una forma di jordan, gli autovettori rispetto ai 2 autovalori "zero" non si sarebbero potuti trovare con la formula:
v1 = base del Ker (A) (dato che l'autovalore a cui si riferisce è zero)
A*v2 = 0*v2 + v1 --> Av2 = v1

in realtà facendo in questo modo (dopo aver trovato anche l'autovettore v3 relativo all'autovalore 1) la matrice M che si trova non è invertibile...come mai?

strano dovresti trovare:

[tex]v_1=(1,0,0)[/tex]

[tex]v_2=(0,1,0)[/tex]

[tex]v_3=(1,1,1)[/tex]

e quindi [tex]M[/tex] invertibile

[e.rapuano]

è v2 che non mi esce come dovrebbe...la formula che ho scritto sopra è giusta?

[GIMUSI]

è v2 che non mi esce come dovrebbe...la formula che ho scritto sopra è giusta?

ma se la matrice è

[tex]A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/tex]

e [tex]v_1=(1,0,0)[/tex]

allora il sistema:

[tex]Av_2=v_1[/tex]

ha soluzione

[tex]v_2=(0,1,0)[/tex]

[e.rapuano]

A me esce v2 = (1,1,0)...però ora la matrice M risulta invertibile e facendo la prova va bene! Quindi il problema è risolto! XD

Però dalla risoluzione del sistema,
(0 1 0) (x)____(1)
(0 0 1) (y) =__(0)
(0 0 1) (z)____(0)
(siano x,y,z le coordinate del generico v2) esce:
y=1
z=0
e x rimane variabile libera....quindi tu l'hai dovuta porre uguale a zero per far uscire (0,1,0) ?

[GIMUSI]

A me esce v2 = (1,1,0)...però ora la matrice M risulta invertibile e facendo la prova va bene! Quindi il problema è risolto! XD

Però dalla risoluzione del sistema,
(0 1 0) (x)____(1)
(0 0 1) (y) =__(0)
(0 0 1) (z)____(0)
(siano x,y,z le coordinate del generico v2) esce:
y=1
z=0
e x rimane variabile libera....quindi tu l'hai dovuta porre uguale a zero per far uscire (0,1,0) ?

sì la coordinata x è libera...a riconferma che la M non è unica

[e.rapuano]

Si il fatto è che in altre situazioni porre il parametro libero uguale a zero sembrava illecito! XD
Va bene, va bene....