13700 wrote:Uhm se il sistema che ho scritto io è giusto, ci sono anche cose che non sono combinazione lineare di I e B... perché ha almeno dimensione 3 l'insieme delle soluzioni, ma se è generato da I e B, ha dimensione 2.
no no...nell'esercizio B non è invertibile...il caso discusso si riferisce all'ipotesi di B invertibile...
appena faccio il sistemone confrontiamo i risultati
Beh ma prendi una B tipo (come da suggerimento )
1 0 0
0 2 0
0 0 3
allora se metti A come
a b c
d e f
g h i
L'equazione BA=AB ti da (sistemoni forever!)
a=a
b=2b
c=3c
2d=d
2e=2e
2f=3f
3g=g
3h=2h
3i=3i
e ti viene
b=c=d=f=g=h=0
e su a,e,i non hai condizioni. Quindi tutte le matrici
a 0 0
0 e 0
0 0 i
vanno bene e sono uno spazio di dimensione 3.
13700 wrote:Beh ma prendi una B tipo (come da suggerimento )
1 0 0
0 2 0
0 0 3
...
Quindi tutte le matrici
a 0 0
0 e 0
0 0 i
vanno bene e sono uno spazio di dimensione 3.
ok...ora ho capito che intendevi...se è così conviene fare sempre il sistemone...credevo che almeno per il caso B invertibile esistesse un criterio generale
e fai bene! Caratterizzare tutte le matrici A che commutano con una matrice B assegnata è un problema per nulla banale, e che non si semplifica affatto assumendo B invertibile. Certamente ci sono tutte le potenze di B, e tutte le combinazioni lineari di potenze di B, le quali poi dopo un po' finiscono per via del polinomio minimo . Ma talvolta c'è pure dell'altro, come nel caso degli uni ripetuti sulla diagonale.
Ovviamente di fronte ad una B specifica il problema si risolve facilmente con il metodo bovino del sistemone, ma una regola generale diventa complicata da escogitare. Per approfondire si può sempre fare una ricerca in internet, a partire da qui:
e fai bene! Caratterizzare tutte le matrici A che commutano con una matrice B assegnata è un problema per nulla banale, e che non si semplifica affatto assumendo B invertibile. Certamente ci sono tutte le potenze di B, e tutte le combinazioni lineari di potenze di B, le quali poi dopo un po' finiscono per via del polinomio minimo . Ma talvolta c'è pure dell'altro, come nel caso degli uni ripetuti sulla diagonale.
Ovviamente di fronte ad una B specifica il problema si risolve facilmente con il metodo bovino del sistemone, ma una regola generale diventa complicata da escogitare. Per approfondire si può sempre fare una ricerca in internet, a partire da qui:
13700 wrote:Beh io nel frattempo ho provato a fare il prodottone tra matrici con 9 incognite
se cerchiamo una matrice A fatta come
a b c
d e f
g h i
e imponiamo BA=AB viene una cosa così
2a+d=2a+2c (posto (1,1))
2b+e=a+c (posto (1,2))
2c+f=b (posto (1,3))
g=2d+2f (posto (2,1))
h=d+f (posto (2,2))
i=e (posto (2,3))
e poi mi vengono di nuovo le prime tre equazioni ...
le equazioni sono 6, le incognite sono 9, quindi ci sono almeno 3 parametri ... per cui dovrebbe essere di dimensione almeno 3, no?
ecco l'ho rifatto...solo che a me vengono solo due parametri liberi...ho aggiornato il file in rev01...le matrici che ottengo funzionano (una è l'identità e l'altra azzera da destra e da sinistra il prodotto per B)...prova a verificare quelle che vengono fuori a te
Uhm io avevo sbagliato a scrivere l'ultima riga di B
Il sistema mi torna come il tuo, ma comunque tre parametri ... non capisco l'ultima equazione della graffa: a me viene 2b+e-h-i=0 (e non -2h-i). In quel modo dovrebbe venirti un parametro in più!
Anche perché pensavo che visto che B ha 3 autovalori reali tutti diversi, dovrebbe comportarsi come la matrice diagonale di prima con 1,2,3 ...basterebbe fare il problema nella base in cui B è diagonale, no?
13700 wrote:Uhm io avevo sbagliato a scrivere l'ultima riga di B
Il sistema mi torna come il tuo, ma comunque tre parametri ... non capisco l'ultima equazione della graffa: a me viene 2b+e-h-i=0 (e non -2h-i). In quel modo dovrebbe venirti un parametro in più!
hai ragione...mi son perso un "h" per strada...mannaggia...vado in rev02
13700 wrote:Uhm io avevo sbagliato a scrivere l'ultima riga di B
Il sistema mi torna come il tuo, ma comunque tre parametri ... non capisco l'ultima equazione della graffa: a me viene 2b+e-h-i=0 (e non -2h-i). In quel modo dovrebbe venirti un parametro in più!
hai ragione...mi son perso un "h" per strada...mannaggia...vado in rev02
anche con questa correzione il sistema mi dà h=0...la soluzione non cambia mi risultano sempre due parametri liberi e come base di V le due matrici indicate...ma qual è al terza matrice che ottieni come base?
)
. Ma talvolta c'è pure dell'altro, come nel caso degli uni ripetuti sulla diagonale.
