Applicazioni lineari 2/3

[alex994]

strano ho provato a metterli in colonna ma non mi viene
partenza:
1 1 | 2 7
2 3 | 3 8

arrivo:
1 0 | -3 13
0 1 | -1 -6

[Massimo Gobbino]

Davvero mi sfugge da dove vengano fuori, o quale giustificazione abbiano, questi procedimenti creativi . Di questo in particolare se ne è parlato nel thread sulla simulazione d'esame 1, giungendo alla conclusione che (ovviamente) non funziona.

[GIMUSI]

strano ho provato a metterli in colonna ma non mi viene
partenza:
1 1 | 2 7
2 3 | 3 8

arrivo:
1 0 | -3 13
0 1 | -1 -6

ops scusami...ti ho risposto con un po' di superficialità...senza riguardare l'esercizio...

io personalmente in questi casi semplici sfrutto le proprietà di linearità nel modo seguente:

visto che

[tex](1,3)[/tex] va in [tex](7,8)[/tex] e

[tex](1,2)[/tex] va in [tex](2,3)[/tex]

la differenza [tex](1,3)-(1,2)=(0,1)[/tex] deve andare in [tex](5,5)[/tex]

pertanto

[tex](1,0) = (1,2)-2*(0,1)[/tex] va in

[tex](2,3)-2*(5,5)=(-8,-7)[/tex]

in alternativa c'è sempre il seguente metodo bovino (ma efficace)

se [tex]A[/tex] è la matrice incognita (cioè con quattro coefficienti incogniti) si impongono le condizioni:

[tex]A*(1,2)=(2,3)[/tex]

[tex]A*(1,3)=(7,8)[/tex]

si ottengono quattro equazioni in quattro incognite che permettono di determinare i coefficienti della matrice

[GIMUSI]

scusate, ma nel primo esercizio di "Applicazioni lineari 3" mi viene
1 0 | -8 -7
0 1 | 5 5

per farlo ho adottato lo stesso sistema di e.rapuano. in cosa ho sbagliato?

Davvero mi sfugge da dove vengano fuori, o quale giustificazione abbiano, questi procedimenti creativi . Di questo in particolare se ne è parlato nel thread sulla simulazione d'esame 1, giungendo alla conclusione che (ovviamente) non funziona.

mi pare che operare alla rapuano sia un modo per sfruttare le proprietà di linearità effettuando contemporaneamente delle operazioni alla gauss sui vettori in partenza e sui corrispondenti vettori immagine fino ad avere a sinistra i vettori della base canonica...che però alla fine del procedimento devono essere letti per riga...pertanto:

al vettore (1,0) corrisponde il vettore (-8,-7)

e al vettore (0,1) corrisponde il vettore (5,5)

quindi la matrice associata all'applicazione nella base canonica è:

-8 5
-7 5

[Massimo Gobbino]

mi pare che operare alla rapuano sia un modo per sfruttare le proprietà di linearità effettuando contemporaneamente delle operazioni alla gauss sui vettori in partenza e sui corrispondenti vettori immagine fino ad avere a sinistra i vettori della base canonica...che però alla fine del procedimento devono essere letti per riga

Certamente: rapuano + trasposizione funziona, ma è quella che altrove ho chiamato "alchimia", cioè scovare un procedimento che, come per magia, porta alla soluzione pur procedendo "fuori etichetta".

Il bello ovviamente sta a trovare la giustificazione rigorosa (molto istruttiva effettivamente) del perché il metodo rapuano funziona. Tuttavia sconsiglierei l'applicazione a chi non ha chiaro il motivo del funzionamento: è più istruttivo all'inizio applicare qualcosa che si è capito bene.

[GIMUSI]

mi pare che operare alla rapuano sia un modo per sfruttare le proprietà di linearità effettuando contemporaneamente delle operazioni alla gauss sui vettori in partenza e sui corrispondenti vettori immagine fino ad avere a sinistra i vettori della base canonica...che però alla fine del procedimento devono essere letti per riga

Certamente: rapuano + trasposizione funziona, ma è quella che altrove ho chiamato "alchimia", cioè scovare un procedimento che, come per magia, porta alla soluzione pur procedendo "fuori etichetta".

Il bello ovviamente sta a trovare la giustificazione rigorosa (molto istruttiva effettivamente) del perché il metodo rapuano funziona. Tuttavia sconsiglierei l'applicazione a chi non ha chiaro il motivo del funzionamento: è più istruttivo all'inizio applicare qualcosa che si è capito bene.

volendo spiegarlo in modo più rigoroso direi che il problema iniziale corrisponde a risolvere i due sistemi (la matrice [tex]A[/tex] è incognita):

[tex]A\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 \\
3
\end{pmatrix}[/tex]

[tex]A\begin{pmatrix}
1 \\
3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
7 \\
8
\end{pmatrix}[/tex]

che equivalgono a imporre che

[tex]A\begin{pmatrix}
1&1 \\
2&3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2&7 \\
3&8
\end{pmatrix}[/tex]

passando alle trasposte

[tex]\begin{pmatrix}
1&2 \\
1&3
\end{pmatrix}A^t=\begin{pmatrix}
2&3 \\
7&8
\end{pmatrix}[/tex]

e quindi

[tex]A^t=\begin{pmatrix}
1&2 \\
1&3
\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
2&3 \\
7&8
\end{pmatrix}[/tex]

che giustifica il perché il metodo rapuano funzioni...certo che utilizzarlo alla cieca non ha molto senso

personalmente l'avevo considerato come un modo alternativo per sfruttare le proprietà di linearità in modo un po' più sistematico

[alex994]

grazie per la spiegazione. quindi sarebbe meglio non utilizzare il metodo di rapuano?

[GIMUSI]

grazie per la spiegazione. quindi sarebbe meglio non utilizzare il metodo di rapuano?

come detto saggiamente dal Prof. Gobbino...se non hai idea del perché funzioni ti sconsiglierei anch'io di utilizzarlo...se non altro perché perderesti totalmente il controllo di ciò che fai e non ti servirebbe a capire problemi più complessi

se l'interpretazione diretta non ti convince (personalmente la trovo più che soddisfacente) allora conviene senz'altro risolvere il sistema

se poi si vuole risolvere il sistema calcolando un'inversa forse vale la pena partire direttamente da

[tex]A\begin{pmatrix}
1&1 \\
2&3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2&7 \\
3&8
\end{pmatrix}[/tex]

e calcolare:

[tex]A=\begin{pmatrix}
2&7 \\
3&8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&1 \\
2&3
\end{pmatrix}^{-1}[/tex]

[Massimo Gobbino]

quindi sarebbe meglio non utilizzare il metodo di rapuano?

Non sarei così categorico, o forse sarei ancora più categorico. È meglio non utilizzare nulla se non ciò che si è capito per bene. Non ha senso imparare un procedimento meccanico che porta alla soluzione di una determinata tipologia di esercizi, perché appena la tipologia varierà un minimo non si sarà in grado di adattare il procedimento. Conviene quindi capire bene i vari procedimenti a cosa servono e cosa producono, e capire anche come lo stesso esercizio si può fare in modi diversi. Se si fa così, quando l'esercizio cambierà i procedimenti si riadatteranno facilmente.

A quel punto anche il metodo rapuano diventerà molto più chiaro.

[Gabe]

Ragazzi una domanda, come trovo la matrice nell'esercizio della 10 riga nella colonna di destra, della scheda Applicazioni lineari 3?

[GIMUSI]

Ragazzi una domanda, come trovo la matrice nell'esercizio della 10 riga nella colonna di destra, della scheda Applicazioni lineari 3?

allego lo svolgimento secondo i vari metodi discussi e commentati qui nel thread (con tutti i pro e contro evidenziati dal prof)

[EDIT]

Balengs ha segnalato il seguente refuso "nel 1° metodo "a occhio" nel sistema c'è scritto v1+v2 e v1-v2 mentre in realtà si tratta di v1+v3 e v1-v3"

[Gabe]

Grazie mille Gimusi!

[Gabe]

Gimusi una domanda, nell'esercizio 10 di Applicazioni lineari 2, a me viene un risultato diverso:

a me viene la matrice con in partenza la base [tex]v_1, v_2, v_3[/tex] ed in arrivo [tex]e_1, e_2, e_3[/tex] , [tex]\hat{A}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/tex].

la matrice M di cambio di base, data dai vettori della base in arrivo richiesta, [tex]w_1=(1, -2, 0), w_2=(0, 2, 1), w_3=(1, 1, 1)[/tex], è: [tex]M= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}[/tex] e [tex]M^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}[/tex].

Dato che [tex]Mv_\epsilon=v_e, v_\epsilon=M^{-1}v_e \rightarrow \hat{A}v_\epsilon=w_e=Mw_\epsilon \rightarrow w_\epsilon=M^{-1}\hat{A}v_\epsilon[/tex],

[tex]A=M^{-1}\hat{A}=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & -2 & 2 \\ -2 & 2 & -2 \end{pmatrix}[/tex], che è diversa dalla tua risposta, ho sbagliato qualcosa?

[GIMUSI]

Gimusi una domanda, nell'esercizio 10 di Applicazioni lineari 2, a me viene un risultato diverso:

a me viene la matrice con in partenza la base [tex]v_1, v_2, v_3[/tex] ed in arrivo [tex]e_1, e_2, e_3[/tex] , [tex]\hat{A}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/tex].

la matrice M di cambio di base, data dai vettori della base in arrivo richiesta, [tex]w_1=(1, -2, 0), w_2=(0, 2, 1), w_3=(1, 1, 1)[/tex], è: [tex]M= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}[/tex] e [tex]M^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}[/tex].

Dato che [tex]Mv_\epsilon=v_e, v_\epsilon=M^{-1}v_e \rightarrow \hat{A}v_\epsilon=w_e=Mw_\epsilon \rightarrow w_\epsilon=M^{-1}\hat{A}v_\epsilon[/tex],

[tex]A=M^{-1}\hat{A}=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & -2 & 2 \\ -2 & 2 & -2 \end{pmatrix}[/tex], che è diversa dalla tua risposta, ho sbagliato qualcosa?

sulla matrice [tex]A[/tex] mi pare ci sia qualche problema (ha una riga nulla)

allego qui il mio svolgimento

[Gabe]

Si hai ragione mi ero perso un 1 quando ho fatto la matrice [tex]\hat{A}[/tex] da base [tex]<v_1, v_2, v_3>[/tex] a base canonica [tex]<(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)>[/tex],

quella giusta è [tex]\hat{A}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/tex], che infatti moltiplicata per [tex]M^{-1}[/tex] con [tex]M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -2 & 2 & 1 \\ 0 &1 & 1 \end{pmatrix}[/tex],

mi da [tex]A=M^{-1}\hat{A}[/tex] quella che ti torna a te