Simulazione scritto d'esame 3

[Massimo Gobbino]

per il terzo esercizio

(a) esistenza e unicità dell'applicazione

[tex]\beta\neq2,\:\beta\neq-1,\alpha\in\mathbb{R}[/tex]

Vorrei segnalare che per completare l'esercizio occorre specificare anche cosa accade quando beta è uguale a -1 oppure 2, cioè se c'è non esistenza, oppure esistenza senza unicità.

[Neomatrix092]

Allora, per rendere i vettori di partenza una base, visto che si lavora in R^3 è sufficiente che siano linearmente indipendenti. Quindi ho costruito la matrice che ha per righe i vettori di partenza (1,-2,3) , (1, 0, beta) , (1, beta, 1) e ho calcolato il determinante. Il problema è che mi viene un polinomio di secondo grado in beta, per di più a radici complesse. Mi sa tanto che sto sbagliando qualcosa...

[GIMUSI]

Vorrei segnalare che per completare l'esercizio occorre specificare anche cosa accade quando beta è uguale a -1 oppure 2, cioè se c'è non esistenza, oppure esistenza senza unicità.

mi pareva mancasse qualcosa...più tardi lo rifaccio

[GIMUSI]

Allora, per rendere i vettori di partenza una base, visto che si lavora in R^3 è sufficiente che siano linearmente indipendenti. Quindi ho costruito la matrice che ha per righe i vettori di partenza (1,-2,3) , (1, 0, beta) , (1, beta, 1) e ho calcolato il determinante. Il problema è che mi viene un polinomio di secondo grado in beta, per di più a radici complesse. Mi sa tanto che sto sbagliando qualcosa...

per garantire esistenza e unicità la cns è proprio quella...ricontrolla per beta i valori dovrebbero venienti reali...

per completare la discussione nei casi speciali indicati dal prof al momento non saprei

[GIMUSI]

per il terzo esercizio

(a) esistenza e unicità dell'applicazione

[tex]\beta\neq2,\:\beta\neq-1,\alpha\in\mathbb{R}[/tex]

Vorrei segnalare che per completare l'esercizio occorre specificare anche cosa accade quando beta è uguale a -1 oppure 2, cioè se c'è non esistenza, oppure esistenza senza unicità.

indicando le tre condizioni con: [tex]f(v_1)=w_1,\;f(v_2)=w_2,\;f(v_3)=w_3[/tex]

- per [tex]\beta=2[/tex] risulta [tex]v_3=-v_1+2v_2[/tex] ma non c'è alcun valore di [tex]\alpha[/tex] per cui risulti [tex]w_3=-w_1+2w_2[/tex], quindi f non esiste

- per [tex]\beta=-1[/tex] risulta [tex]2v_3=v_1+v_2[/tex] ma non c'è alcun valore di [tex]\alpha[/tex] per cui risulti [tex]2w_3=w_1+w_2[/tex], quindi f non esiste

- in entrambi i casi se [tex]\alpha[/tex] fosse esistito si sarebbe avuta esistenza ma non unicità perché si sarebbe potuta fissare liberamente una terza condizione

[GIMUSI]

una soluzione per il quarto esercizio:

[tex]\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 5 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 5 & -1 \\
5 & 5 & 0 & -3 \\
0 & 5 & 5 & -3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
w
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
17 \\
-1 \\
-18 \\
16 \\
-19
\end{pmatrix}[/tex]

[Massimo Gobbino]

indicando le tre condizioni con: [tex]f(v_1)=w_1,\;f(v_2)=w_2,\;f(v_3)=w_3[/tex]

- per [tex]\beta=2[/tex] risulta [tex]v_3=-v_1+2v_2[/tex] ma non c'è alcun valore di [tex]\alpha[/tex] per cui risulti [tex]w_3=-w_1+2w_2[/tex], quindi f non esiste

- per [tex]\beta=-1[/tex] risulta [tex]2v_3=v_1+v_2[/tex] ma non c'è alcun valore di [tex]\alpha[/tex] per cui risulti [tex]2w_3=w_1+w_2[/tex], quindi f non esiste

- in entrambi i casi se [tex]\alpha[/tex] fosse esistito si sarebbe avuta esistenza ma non unicità perché si sarebbe potuta fissare liberamente una terza condizione

Ora va bene

[Neomatrix092]

Avevo sbagliato un segno nel calcolo del det pardon!

[Neomatrix092]

Qualcuno potrebbe postare il procedimento per svolgere correttamente il 4° esercizio?

[GIMUSI]

Qualcuno potrebbe postare il procedimento per svolgere correttamente il 4° esercizio?

io ho ragionato nel modo seguente:

- non esiste alcun valore di t per cui: [tex](x,y,z,w)=(0,0,0,0)[/tex]

- allora la soluzione generale del sistema [tex]Ax=b[/tex] è del tipo "soluzione particolare"+"soluzione sistema omogeneo": [tex](x,y,z,w)=(3,-1,-4,-2)+t(1,2,1,5)[/tex]

- giacché la soluzione del sistema omogeneo ha un solo parametro libero risulta: [tex]rank(A)=n-dim(Ker)=4-1=3[/tex]

- quindi ci sono solo tre equazioni indipendenti (diciamo le prime tre) che si costruiscono in modo da soddisfare la soluzione omogenea: [tex](x,y,z,w)_O=t(1,2,1,5)[/tex]

- le restanti due si possono costruire per combinazione lineare delle tre indipendenti: ad esempio "1°+2°" e "2°+3°"

- infine si determina il vettore dei termini noti [tex]b[/tex] in modo tale che il sistema soddisfi anche la soluzione particolare: [tex](x,y,z,w)_P=(3,-1,-4,-2)[/tex]

[GIMUSI]

allego le soluzioni con svolgimento della "Simulazione scritto d'esame 3"

[Giorgio9092]

allego le soluzioni con svolgimento della "Simulazione scritto d'esame 3"

Scusa ma per l' ultimo esercizio che ragionamento hai usato? Per la matrice iniziale basta prenderne una che soddisfi le condizioni date giusto? Non importa prendere quella che hai preso te?

[GIMUSI]

allego le soluzioni con svolgimento della "Simulazione scritto d'esame 3"

Scusa ma per l' ultimo esercizio che ragionamento hai usato? Per la matrice iniziale basta prenderne una che soddisfi le condizioni date giusto? Non importa prendere quella che hai preso te?

certo...una delle infinite

[nomeutente]

Come trovo le soluzioni dell'omogeneo? Non capisco le prime righe della matrice!

[GIMUSI]

Come trovo le soluzioni dell'omogeneo? Non capisco le prime righe della matrice!

ti ripeterei quello che è stato già scritto prima...cosa non ti è chiaro esattamente?