AH! Queste basi

[maimoneg]

All'attenzione del Chi.mo Prof. Massimo Gobbino

La domanda che mi frulla per la testa da un pò di tempo, e sulla quale ho postato un questito che poi ho tolto, perchè lo ritenevo poco chiaro nella sua formulazione e che qui ripropongo è la seguente:

Per semplicita' mettiamoci in R^3.

Dati tre vettori qualunque linearmente indipendenti:
v1, v2, v3, questi tre vettori hanno ciascuno 3 componenti con le quali, se voglio, posso
fare una matrice 3x3 considerandoli come colonne:

(v1|v2|v3|)

Se dico che le tre componenti dei tre vettori v1, v2, v3, sono relative ad una base qualunque possso ritenere di aver detto una cosa corretta?

1) Le tre componenti le devo necessariamente pensare nella base ortonormale cartesiana, che chiamo canonica?
2) Oppure: qualunque base non ha una sua canonica intrinseca (1,0,0), (0,1,0), e (0,0,1) ?
3) E se moltiplico la matrice di cui sopra ad esempio per (1,0,0) non ottengo sempre v1 qualunque sia la base?

4) Rimarrebbe da considerare la matrice identica intrinseca, perchè: sebbene il prodotto scalare dei suoi vettori faccia sempre zero, essi non sarebbero tra loro perpendicolari. (Ammesso se abbia senso in una base
qualunque la definizione di prosotto scalare! visto che non mi dà la proiezione ortogonale in quanto vettori qualsiasi!)
E che significato avrebbe il determinante di tale canonica intrinseca?

5) Allora cosa accade?
Per base canonica, si deve intendere sempre la canonica classica, con i tre versori ortogonali, e partire per definire le componenti di un vettore, sempre da quella e ci si semplifica la vita?
Oppure vista la linearità che domina questa parte della matematica (Algebra Lineare), va bene anche partire per la definizione delle componenti dei vettori, da una base qualsiasi e rompersi il collo con tutti i calcoli che si han da fare?

6) Ha un senso tutto ciò che ho esposto sopra?

Oggi è Pasqua, e Le auguro una Buona Pasqua e buone feste.

Cordialmente
Giuseppe Maimone

[Massimo Gobbino]

6) Ha un senso tutto ciò che ho esposto sopra?

Ni. Forse riesco ad intravedere l'origine dei dubbi. Probabilmente il tentativo di spiegazione che segue crea più confusione che chiarezza, quindi va letto a proprio rischio e pericolo .

Il fatto è che \(\mathbb{R}^3\) esiste come spazio vettoriale molto prima di avere vettori ortogonali o prodotti scalari. Si tratta dello spazio delle terne (x,y,z) di numeri reali. Punto. Nessuna interpretazione geometrica. La base canonica è quella più bella, con un 1 e tutti gli altri 0. Ma nessuno sta dicendo che sia ortogonale, o fatta da vettori di lunghezza unitaria, perché semplicemente quei concetti non esistono ancora.

A quel punto uno si accorge che grazie alle basi possiamo trasformare i vettori, nel senso di elementi di uno spazio vettoriale, in numeri. Così tutti gli spazi vettoriali di dimensione 3 "diventano" \(\mathbb{R}^3\), ma il diventare dipende dalla scelta di una base. Questo si vede bene nel momento in cui uno pensa allo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado <=2.

Per confondere le idee, a quel punto uno può tornare in \(\mathbb{R}^3\) e scegliere una nuova base, una qualunque, e grazie a questa nuova base identificare i vettori, che sono terne di reali, con un'altra terna di reali, che sono le componenti del vettore. E qui nasce l'inghippo ... perché ora \(\mathbb{R}^3\) gioca due ruoli: quello di insieme di vettori, e quello di terne di numeri che rappresentano gli stessi vettori rispetto ad una base.

Se quindi questa nuova base è (scrivo numeri a caso, sperando di beccare una base): v1=(3,2,1), v2=(7,3,9), v3=(12,-3,5), allora le componenti di (3,2,1) (il vettore) in questa nuova base saranno (1,0,0), ma non per questo v1 sarà diventato il primo vettore della base canonica. Il primo elemento della base canonica resta il vettore (1,0,0) che avrà le sue componenti strane rispetto alla base v1, v2, v3.

[maimoneg]

Chi.mo Prof Gobbino

Ha detto giusto "a proprio rischio e pericolo".
Ma non per questo, se vengono delle domande, uno non se le deve fare.

Accettando il rischio riposto la questione.

Se prendo un vettore V1(1, 2, 3) a caso, ci si può chiedere:
1) Come giustamente dice Lei: le componenti sono numeri reali a caso. E questo è ovvio perché trattasi di "un" vettore a caso.
2) Quelle tre componenti le posso pensare in una base qualunque. Anche questo è ovvio.
3) Non è più ovvio il concetto di prodotto scalare tra due vettori il primo orizzontale ed il secondo verticale. Cosa produrrebbe in una base a caso?
4) Ed in tal caso, la base canonica (e1, e2, e3) con
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) ed e3=(0,0,1) cosa rappresenterebbe?
5) Inoltre i prodotti scalari sono tutti nulli essendo diversi da zero sia e1, che e2 che e3:
<e1,e2> = <e2,e3> = <e3,e1> = 0
Cosa vorrebbe dire tutto ciò in una base qualunque?
6) Se faccio <e1,e2> trovo la proiezione di uno sull'altro, perché vi é sempre un coseno di mezzo, moltiplicato per l'altro: ||e1||x||e2||cos(alfa), ma ciò cos'è? Può essere visto che:
<e1,e2> = <(1,0,0), (0,1,0)> = 1x0 + 0x1 + 0x0 = 0?
7) Tale prodotto sarebbe diverso da zero ed anche uguale a zero contemporaneamente?
Oppure non ha senso introdurre il concetto di "Prodotto scalare" come somma dei prodotti delle componenti omologhe per le basi che non siano ortonormali?

Non penso che questi dubbi vengano solo a me.

È chiaro che dubbi non ne ho se procedo, diciamo, in modo bovino, pensando e1, e2, ed e3, come vettori ortonormali e considero un vettore a caso riferito ad essi e poi magari mi diverto cambiando basi.

Spero di avere chiarito le mie perplessità.

In attesa di una Sua rispota risposta Voglia gradire
Cordiali saluti.
Giuseppe Maimone.

[maimoneg]

Chi.mo Prof. Gobbino

Non è che per caso la definizione di prodotto scalare tra due vettori, come somma dei prodotti tra componenti corrispondenti, in una base qualunque, non ha alcun senso?
Come al solito nell'attesa di una sua risposta chiarificatrice, Voglia gradire
Cordiali saluti.
Giuseppe Maimone.

[Massimo Gobbino]

Non è che per caso la definizione di prodotto scalare tra due vettori, come somma dei prodotti tra componenti corrispondenti, in una base qualunque, non ha alcun senso?

Beh, un senso ce l'ha: si tratta del prodotto scalare definito positivo che ha quella particolare base come base ortonormale .

[maimoneg]

Chi.mo Prof. Gobbino
Avevo dimenticato che anche i vettori ad infinite dimensioni possono essere ortogonali.
Ad es: se l'integrale di una f(t)xg(t) viene zero, f e g sono ortogonali, in quanto l'integrale
è la somma di infiniti prodotti di componeneti corrispondenti (stesso valore di t) di f(t) e g(t),
quindi un prodotto scalare tra due vettori ad infinite componenti.
Cordialmente
Un saluto e buone feste.
G. Maimone.