matrice Hermitiana è definita positiva o negatica

[trida]

Salve a tutti, io un problema con questo esercizio. Data A hermitiana di dimensione n > 10, si supponga che la prima riga di A abbia tutti gli elementi uguali a 1 e che An-1,n-1=1/2 An-1,n=1/20 e An,n= Pigreco/2. Definire se A è definita positiva o definita negativa.

io so che A = 1 1 1 1 ............. 1
1 x x x..............x
1 x x x ..............x
. . .
. . 1/2 1/20
1 x x x .....1/20 pi/2
Dove le x sono i valori che non conosco, io so che una matrice hermitiana è definita postiva solo quando o ha tutti gli auotovalori >0 o quando ogni suo minore principale è definito positivo, ma se io non ho conosco tutti i valori come faccio a capire se è positiva o negativa ?
Grazie mille a chi mi dara una mano

[Massimo Gobbino]

Uhm, non capisco questo problema. Della matrice si sa poco o nulla, giusto? Intanto sostituiamo hermitiana con simmetrica, che sui reali è lo stesso.

Ora di sicuro non può essere definita negativa, in quanto basta un solo termine positivo lungo la diagonale per escluderlo (perché?).

D'altra parte, per essere definita positiva deve avere tutti numeri positivi sulla diagonale (perché?), quindi basta che sulla diagonale ci sia un solo numero negativo e subito diventa indefinita. Stessa cosa se anche sulla diagonale ci sono numeri positivi, ma c'è un minore 2*2 lungo la diagonale con determinante negativo.

Se sulla diagonale ci sono numeri positivi enormi, ed il resto sono zeri, di sicuro è definita positiva.

In poche parole, la situazione non è univocamente determinata, e può succedere un po' di tutto (tranne che sia definita negativa).

[trida]

provo ad allegare l'esercizo, forse ho ricopiato male

modellistica.jpg (106.14 KiB) Viewed 6669 times

è l'esercizio 2
"Ora di sicuro non può essere definita negativa, in quanto basta un solo termine positivo lungo la diagonale per escluderlo (perché?)" perche se prendo il termine a11, ed è positivo vado in contrasto con la definizione di negativa, che ogni suo minore prinicpale deve essere negativo
"per essere definita positiva deve avere tutti numeri positivi sulla diagonale (perché?)" l'unico motivo che mi viene in mente è il teorema della fattorizzazione di cholesky

ok, quindi non è nè positiva e nè negativa, però da come aveva impostato la domanda mi aspetta o uno o l'altro, dovrò stare più attendo la prossima volta

[trida]

ho provato a fare tutto il secondo punto, se non è di troppo disturbo, potrebbe dare un'occhiata, anche veloce all'esercizio, per capire se sono sulla buona strada o sto sbagliando tutto, perchè io purtroppo non ho le correzzioni di questi esercizi.

esercizio 2.JPG (2.14 MiB) Viewed 6669 times

Grazie mille ancora per il disturbo

[GIMUSI]

Non ho più saputo nulla sull'altra domanda "Calcolare determinante della matrice Flip".