[Applicazione Lineare] Trovare Matrice Associata

[AdrianAlter]

Ciao a tutti, sto avendo problemi a risolvere questo esercizio al punto 'a'.

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Qualcuno potrebbe gentilmente fornire una soluzione con spiegazione per uno che non ne capisce molto?
Grazie mille in anticipo

[GIMUSI]

a) Trovare la matrice B

Metodo 1

Sapendo che alla base ${\mathcal{B}}=\{e_2;e_1;e_3+e_4;e_3+e_2\}$ è associata la matrice $A=\begin{bmatrix}2&2&1&1\\2&2&1&1\\0&0&1&1\\0&0&1&1\end{bmatrix}$ è possibile ricostuire direttamente la matrice $B$ associata a f rispetto alla base canonica, infatti

- $f(e_1)=(2,2,0,0)_{\mathcal{B}}=2e_2+2e_1=(2,2,0,0)_{\mathcal{C}}$
- $f(e_2)=(2,2,0,0)_{\mathcal{B}}=2e_2+2e_1=(2,2,0,0)_{\mathcal{C}}$
- $f(e_3)=f(e_3+e_2)-f(e_2)=(-1,-1,1,1)_{\mathcal{B}}=-e_2-e_1+(e_3+e_4)+(e_3+e_2)-e_1+2e_3+e_4=(-1,0,2,1)_{\mathcal{C}}$
- $f(e_4)=f(e_3+e_4)-f(e_3)=(2,2,0,0)_{\mathcal{B}}=2e_2+2e_1=(2,2,0,0)_{\mathcal{C}}$

e quindi $B=\begin{bmatrix}2&2&-1&2\\2&2&0&2\\0&0&2&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}$

Metodo 2

Consideriamo la matrice $M$ che ha per colonne i vettori della base $\{e_2;e_1;e_3+e_4;e_3+e_2\}$ espressi nella canonica $M=\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&1\\0&0&1&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}$ allora se $v_{\mathcal{B}}$ è un vettore nella base ${\mathcal{B}}$ la sua rappresentazione nella base canonica è data da $v_{\mathcal{C}}=Mv_{\mathcal{B}}$ e dunque $w_{\mathcal{B}}=f(v_{\mathcal{B}})=Av_{\mathcal{B}}\iff M^{-1}w_{\mathcal{C}}=AM^{-1}v_{\mathcal{C}}\iff f(v_{\mathcal{C}})=w_{\mathcal{C}}=MAM^{-1}v_{\mathcal{C}}$ e quindi $B=MAM^{-1}$ (verificare che corrisponde a quella trovata con il metodo 1, spero!).

b) Dimensione dell'immagine

Il rango di $f$ è __ (perché?), quindi la dimensione è __ (perché ?).

c) B è diagonalizzabile?

Qual è la cns per la diagonalizzabilità?

d) Trovare una base per Null(f)

Per trovare una base dobbiamo risolvere $Ax=0$ o $Bx=0$.

Conoscere la dimensione aiuta molto. Qual è la dimensione di Null(f)? Perché?