Antitraslazione

[keine_ahnung]

Ciao a tutti, avrei bisogno di un piccolo chiarimento sulla classificazione delle isometrie del piano, ed in particolare sull’antitraslazione (lezione 53 - 2014/2015). Nel caso in cui il rango della matrice sia 1 il prof. Gobbino conclude dicendo che siccome il vettore b non appartiene all’immagine dell’applicazione lineare associata alla matrice allora risulta essere parallelo alla retta di simmetria. Sarà sicuramente una stupidaggine, ma mi sfugge proprio questo passaggio: come si fa a concludere che il vettore b è parallelo alla retta di simmetria dal semplice fatto che b non appartiene all’immagine? Grazie

[keine_ahnung]

Nessuna anima pia mi può dare una mano? Provo a chiarire meglio il mio dubbio.
La classificazione delle isometrie in $\mathbb{R}^2$ si basa sulla ricerca dei punti fissi, quindi sulla ricerca dei vettori $x$ tali che:
$Ax+b=x$,
che può essere riscritto come:
$(A-Id)x=-b$.
Il mio dubbio riguarda il caso in cui non ci siano punti fissi, cioè il caso in cui i ranghi delle matrici $(A-Id)$ e $(A-Id|-b)$ non coincidano. Il caso in cui $(A-Id)$ ha rango $0$ è chiaro, quello che non mi torna è il caso in cui il rango è $1$. Il fatto che il sistema non abbia soluzioni implica che il vettore $-b$ non appartiene all’immagine di $(A-Id)$. Ciò che non mi è chiaro è come da qui si faccia a concludere che allora il vettore $-b$ è parallelo alla retta di simmetria della matrice $A$.

[Massimo Gobbino]

Sono io che l'ho spiegato malino . Se non lo fa nessuno, quando ho un attimo di tempo preciso meglio ...

[keine_ahnung]

Grazie mille!

[Massimo Gobbino]

Il caso in discussione è quello in cui A è una simmetria rispetto ad una retta e l'affinità Ax+b non ha punti fissi. Come giustamente osservato, questo accade se il vettore -b non sta nell'immagine di A-Id.

Ora è abbastanza facile vedere che l'immagine di A-Id è la retta perpendicolare alla retta rispetto alla quale A fa la simmetria. Quindi la condizione per non avere punti fissi è che -b, o equivalentemente b, non appartenga a tale retta ortogonale, o equivalentemente abbia componente non nulla rispetto alla direzione della retta rispetto alla quale si sta facendo la simmetria.

Da dove nasce la mia spiegazione sbagliata? Scriviamo b come somma di due vettori $b_1$ e $b_2$, il primo ortogonale ed il secondo parallelo alla direzione della retta di simmetria. L'affinità si scrive quindi come

$Ax+b_1+b_2$

dove A rappresenta la simmetria rispetto ad una retta passante per l'origine.

Qual è l'effetto di $b_1$ e $b_2$? L'effetto di $b_1$ è quello di traslare perpendicolarmente a se stessa la retta rispetto alla quale stiamo facendo la simmetria (che quindi non passa più per l'origine quando questo vettore non è nullo). L'effetto di $b_2$ a quel punto è di traslare tutto parallelamente alla retta di simmetria, quindi se $b_2\neq 0$ addio punti fissi.

In questo senso si può dire che quando A-id non è la matrice nulla e non ci sono punti fissi, allora abbiamo fatto una simmetria rispetto ad una qualche retta (anche non passante per l'origine) e poi traslato parallelamente alla retta stessa.

Volendo fare un esempio numerico, pensiamo alla trasformazione

$\pmatrix{x\\y}\to\pmatrix{1&0\\0&-1}\pmatrix{x\\y}+\pmatrix{3\\4}=\pmatrix{x+3\\-y+4}$

La matrice rappresenta la simmetria rispetto all'asse x. Il vettore $b_1$ sarebbe (0,4) e il suo effetto è quello di rendere la simmetria rispetto alla retta $y=2$ (traslazione della retta di simmetria originaria). Infine il vettore (3,0) trasla tutto parallelamente alla retta di simmetria, distruggendo i punti fissi.

[keine_ahnung]

Gentilissimo! Finalmente ho capito.