AUTOVALORI: matrice parametrica

[Marco98k]

Ciao, devo superare l'esame di algebra lineare alla facoltà di fisica. Riscontro problemi nel calcolo di molti polinomi caratteristici di matrici parametriche, tra cui il seguente.
Trovare gli autovalori e discuterne l'esistenza al variare di t.
La matrice di partenza è:
\(\left[\begin{matrix}0 & -2t & 4 & 8t \\ -t & -t
& 1 & 4t \\ -4 & 0 & 5t & 0 \\ -1 & 0 & -1 & t-3\end{matrix}\right]\)

Che ho scritto nella forma: \(\left[\begin{matrix}-x & -2t & 4 & 8t \\ -t & -t-x & 1 & 4t \\ -4 & 0 & 5t-x & 0 \\ -1 & 0 & -1 & t-3-x\end{matrix}\right]\)

Procedendo nel calcolo di P(x) ho assunto, quindi, x come variabile, utilizzando lo sviluppo di Laplace: prima per la seconda colonna e poi per la terza in entrambi i termini. Arrivando a:

\[2t[(4t)(4+5t-x)+(t-3-x)(-5t^2+xt+4)]+(-t-x)[(t-3-x)(-5t^2+x^2+16)+(-8t)(4+5t-x)]=0 \]

Bisogna trovare gli zeri del polinomio, arrivando a soluzioni del tipo \[x=t + espressione.\] Il problema è che non riesco a trovare nessun tipo di raccoglimento utile a fini della risoluzione. Potete aiutarmi?

Grazie