Descrizione base appartenente a Mat2x2

[FedeB]

Buonasera a tutti, vi posto un esercizi che ho incontrato sulle basi.

Descrivere una base delle spazio vettoriale delle matrici 2×2 a coefficienti reali.

Non so se ho inteso bene l'esercizio, ma posto una mia risoluzione.
Ciò che ho inteso è: ''come costruisco da 0 una base qualsiasi di una matrice 2x2?''

Risoluzione:

Sia A una matrice 2x2.

$A = \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}$

Essendo la dimensione di A = 4, ho bisogno di 4 vettori $\{v1, v2, v3, v4\}$ per descriverla. Per definizione di base, ho bisogno di due cose:

1) che la combinazione lineare sia indipendente

2) che i vettori siano generatori di A, cioè che $Span \{v1, v2, v3, v4\} = 4$

Inizio dalla prima:

la combinazione lineare indipendente corrisponde a:

$a\begin{pmatrix} x1&x2\\ x3&x4 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} x5&x6\\ x7&x8 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} x9&x10\\ x311&x12 \end{pmatrix}+d\begin{pmatrix} x13&x14\\ x15&x16 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix}$

Che corrisponde al sistema:


$\begin{cases} ax1+bx5+cx9+dx13 = 0 \\ ax2+bx6+cx10+dx14 = 0 \\ ax3+bx7+cx11+dx15= 0 \\ ax4+bx8+cx12+dx16=0\end{cases}$

In forma matriciale:


$\begin{pmatrix} 1&1&1&1&0\\1&1&1&1&0 \end{pmatrix}$

Risolta, si verifica il fatto che sia indipendente poichè:

$\begin{cases} a= 0 \\ b= 0 \\ c= 0 \\ d=0\end{cases}$

Per la proprietà della base: se dim(A)=n e ho n vettori indipendenti, allora quei vettori costituiscono una base. La proprietà è verificata e quindi quei vettori costituiscono la base.


Il problema è che non so se ho interpretato l'esercizio e/o non l'ho fatto correttamente. Ringrazio tutti in anticipo.


-Federico

[GIMUSI]

L'idea di è quella giusta, riporto solo qualche osservazione

...
Essendo la dimensione di A = 4, ho bisogno di 4 vettori $\{v1, v2, v3, v4\}$ per descriverla. Per definizione di base, ho bisogno di due cose:

1) che la combinazione lineare sia indipendente

2) che i vettori siano generatori di A, cioè che $Span \{v1, v2, v3, v4\} = 4$

...

Puoi semplicemente affermare che è necessario trovare 4 vettori linearmente indipendenti, a qual punto dimensione e span sono assicurati (osserva anche che $Span \{v1, v2, v3, v4\} = 4$ non ha significato).

...Che corrisponde al sistema:


$\begin{cases} ax1+bx5+cx9+dx13 = 0 \\ ax2+bx6+cx10+dx14 = 0 \\ ax3+bx7+cx11+dx15= 0 \\ ax4+bx8+cx12+dx16=0\end{cases}$

In forma matriciale:


$\begin{pmatrix} 1&1&1&1&0\\1&1&1&1&0 \end{pmatrix}$

...

Non mi pare che la forma matriciale corrisponda al sistema. Il sistema in a,b,c,d dovrebbe essere

$\begin{pmatrix} x1&x5&x9&x13\\x2&x6&x10&x14\\x3&x7&x11&x15\\x4&x8&x12&x16 \end{pmatrix}$

...

Per la proprietà della base: se dim(A)=n e ho n vettori indipendenti, allora quei vettori costituiscono una base. La proprietà è verificata e quindi quei vettori costituiscono la base.

In realtà hai impostato il sistema ma non hai trovato una base. La condizione per avere una base è che la matrice associata al sistema abbia rango 4.

Per risolvere l'esercizio puoi semplicemente utilizzare la base canonica esattamente come i vettori $n\times 1$ ed osservare che ogni matrice A 2x2

$A = \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}$

può essere scritta come combinazione delle matrici elementari

$a\begin{pmatrix} 1&0\\0&0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}+d\begin{pmatrix} 0&0\\0&1 \end{pmatrix}$
i cui coefficienti come puoi facimente verificare soddisfano la condizione rango=4.

[FedeB]

(osserva anche che Span{v1,v2,v3,v4}=4 non ha significato).

Errore mio, dovevo scrivere che lo Span{v1,v2,v3,v4}=V con V spazio vettoriale di una Mat2x2 giusto?

Ho capito il senso dell'esercizio (forse); quello che dovevo fare era semplicemente crearmi una base, quindi creare 4 vettori linearmente indipendenti e confermare che fossero una base giusto?

Siccome mi hai dato la base canonica, allora ho tentato di crearmi una base. Posto lo svolgimento e magari giustificando i passaggi:

Devo creare una base tale che generi una matrice 2x2; le matrici 2x2 hanno dimensione 4 poiché nelle matrici la dimensione può coincide con il rango (quindi col numero di pivot).

Siano v1,v2,v3,v4 i seguenti vettori:

$v1 = \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\3\\0\end{pmatrix}$ $v2 = \begin{pmatrix} 0\\2\\4\\1 \end{pmatrix}$ $v3 = \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\0 \end{pmatrix}$ $v4 = \begin{pmatrix} 6\\1\\-1\\3 \end{pmatrix}$

La combinazione lineare sarà del tipo:

a* $\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\3\\0\end{pmatrix}$ + b* $\begin{pmatrix} 0\\2\\4\\1 \end{pmatrix}$ + c* $\begin{pmatrix} 1\\1\\1\\0 \end{pmatrix}$ + d* $\begin{pmatrix} 6\\1\\-1\\3 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}$



Verifichiamo la dipendenza impostando la seguente matrice:

$A = \begin{pmatrix} 1&0&1&6&0\\ 2&2&1&1&0 \\3&4&1&-1&0 \\ 0&1&0&3&0 \end{pmatrix}$

Ridotta:

$A(rid) = \begin{pmatrix} 3&4&1&-1&0\\ 0&4&-2&-19&0 \\0&0&-2&-31&0 \\ 0&0&0&-9&0 \end{pmatrix}$

Equivale a:

$\begin{cases} a= 0 \\ b= 0 \\ c= 0 \\ d=0\end{cases}$

Quindi i vettori sono indipendenti; il rango corrisponde a 4 quindi la dimensione è 4. Sempre per il teorema delle proprietà delle basi (punto 5), posso affermare che è base. La base è costituita da:

$$\begin{cases}\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\3\\0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\2\\4\\1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6\\1\\-1\\3 \end{pmatrix}\end{cases}$$ \

[GIMUSI]

(osserva anche che Span{v1,v2,v3,v4}=4 non ha significato).

Errore mio, dovevo scrivere che lo Span{v1,v2,v3,v4}=V con V spazio vettoriale di una Mat2x2 giusto?

Ho capito il senso dell'esercizio (forse); quello che dovevo fare era semplicemente crearmi una base, quindi creare 4 vettori linearmente indipendenti e confermare che fossero una base giusto?

Sì certo la scrittura per lo span è quella giusta.

Sì infatti l'esercizio chiedeva di trovare una base e la canonica (o altri basi semplici tipo e1,e1+e2,e1+e2+e3,e1+e2+e3+e4) va benissimo non occorre trovarne di più complicate.

Il metodo che hai utilizzato diventa obbligatorio se ti vengono dati 4 vettori e devi verificare se sono una base.