Studio segnatura forma quadratica

[zio_mangrovia]

Studiando con Sylvester la segnatura di questa forma quadratica \(H(x,y,z)=x^2+y^2+4z^2−2xy+4xz+4yz\) vorrei capire se il mio ragionamento è corretto:

mi ricavo la relativa matrice:

\(\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 2 \\
-1 & 1 & 2 \\
2 & 2 & 4
\end{bmatrix}
\end{equation*}\)

scelgo Sylvester 1_2_3 dove:
\(det_1=1\)
\(det_2=0\)
\(det_3=-16\)

Ottengo la segnatura + 0 -
Secondo me dove c'è lo zero può esserci solo un valore positivo perché il \(det_3=-16\) e quindi il prodotto di tutti gli autovalori è negativo e l'unico modo per ottenere questa segnatura è + + -
Se avessi avuto +-- non tornerebbe.
Mi chiedo come posso escludere che lo zero sia effettivamente un segno meno? Deve esistere almeno un \(det_2\) dei 4 diverso da zero?

[Massimo Gobbino]

Ci sono tante cose che non tornano nel tuo post.

Per prima cosa non è corretto dire "ottengo la segnatura +0-". Quelli sono semplicemente i segni dei determinanti successivi che hai considerato, dai quali bisogna in qualche modo dedurre la segnatura. Ad esempio, se uno ottiene --- come segno dei determinanti, non vuol dire che la segnatura è ---, ma ++- (variazioni e permanenze, con un + d'ufficio in testa). Riassumendo: mai confondere i segni ottenuti strada facendo con la segnatura.

Secondo, ma legato al precedente, dedurre la segnatura non vuol dire cercare di capire con cosa va sostituito lo 0. Potrebbe venire tutt'altro, come visto sopra.

Nell'esempio specifico, la cosa conveniente è partire dal det 3. Essendo negativo, le uniche segnature compatibili sono --- e ++-. Tuttavia, se fosse la prima, allora la forma sarebbe definita negativa, e quindi negativa su tutti i sottospazi di ogni dimensione. In particolare, tutti i det 1 sarebbero - e tutti i det 2 sarebbero +.

Non capisco poi il discorso finale dei 4 det 2. Perché sarebbero 4? In ogni caso, di fronte ad una segnatura ++-, come in questo caso, i det 2 possono essere positivi, negativi o nulli a loro piacimento, a seconda di come si situano rispetto al cono definito dal luogo di zeri della forma.

[zio_mangrovia]

Ho fatto un bel po' di confusione ho scambiato il segno dei determinanti con la segnatura, comunque chiarissima la sua esposizione.
Per l'altra domanda intendevo dire se esiste un modo tramite Sylvester per riconoscere se la forma quadratica è semidefinita positiva/negativa cioè se esistono autovalori nulli in quanto nelle sue preziosissime lezioni video si dice che il procedimento funziona quando non si trovano determinanti uguali a zero.
Forse sto dicendo una cosa senza senso... se avessi presso in considerazione tutti i minori di ordine 2 (ho sbagliato a dire quattro perché sono di più) e per assurdo fossero stati tutti nulli, avrei potuto affermare la presenza di un autovalore nullo?
Grazie

[Massimo Gobbino]

No, occhio, i determinanti utili ai fini del calcolo della segnatura sono quelli "lungo la diagonale", che in dimensione 3 sono solo 3. La presenza di un autovalore nullo è facile da individuare, in quanto c'è se e solo se il determinante generale è nullo.

Quanto a Sylvester, se non si incontrano determinanti nulli funziona tutto bene con permanenze e variazioni. Se invece si incontrano degli 0 strada facendo, occorre fare ragionamenti più astuti. Se ne è parlato diffusamente in altro thread:

http://pagine.dm.unipi.it/gobbino/Forum ... =33&t=1240

[zio_mangrovia]

Grazie di nuovo per l'eccellente spiegazione, ho capito.
Purtroppo non posso frequentare le lezioni perché lavoro e non è facilissimo sciogliere velocemente i dubbi soprattutto se autodidatta.