studio segnatura forma quadratica

[zio_mangrovia]

Buongiorno a tutti,
sono uno studente "autodidatta" e sto provando a calcolare la segnatura della forma quadratica: \(H(x,y,z,w)=y^2+xz+2yw\)

ho provato con Sylvester ma la presenza di troppi zeri nella matrice me ne impedisce l'uso, poi i determinanti vengono quasi tutti zero.
Ho provato con il completamento dei quadrati e ottengo: \(\displaystyle(x+\dfrac{1}{2}z)^2+(y+w)^2-x^2-z^2-w^2\)
ma sto sbagliando qualcosa e non riesco a capirlo perché noto n.3 quadrati con il segno meno e n.2 con il segno più e le variabili sono solo 4 \((x,y,z,w)\) per cui la segnatura non torna.
Potete cortesemente darmi una mano?

Con il calcolo degli autovalori il polinomio caratteristico esce fuori piuttosto complicato, quindi come studiare questa forma quadratica in modo veloce?
Grazie

[GIMUSI]

con Sylvester hai una serie: + - 0 + quindi deve essere necessariamente + - - +

lo si vede bene anche con il completamento dei quadrati: \((y+w)^2-w^2+1/4(x+z)^2-1/4(x-z)^2\)

[zio_mangrovia]

con Sylvester hai una serie: + - 0 +

Non ho ben compreso il perché, noto che \(det_{2x2}\) è sempre \(0\), in qualsiasi dei 4 modi lo si scelga (1a riga, 2a riga, 3a riga o 4a riga)

quindi deve essere necessariamente + - - +

Ok, che giustifico pensando che ci sono n.2 \(n_+\) e n.2 \(n_-\)

lo si vede bene anche con il completamento dei quadrati: \((y+w)^2-w^2+1/4(x+z)^2-1/4(x-z)^2\)

questo è chiarissimo

[GIMUSI]

Non ho ben compreso il perché, noto che \(det_{2x2}\) è sempre \(0\), in qualsiasi dei 4 modi lo si scelga (1a riga, 2a riga, 3a riga o 4a riga)
...

non è indispensabile, ma se ordini le variabili in y w x z la matrice associata diventa

\(\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1/2 \\
0 & 0 & 1/2 & 0 \\
\end{pmatrix}\)

e vedi subito che la sequenza è + - 0 +

[zio_mangrovia]

non è indispensabile, ma se ordini le variabili in y w x z la matrice associata diventa

Non capisco perché non è indispensabile, so che Sylvester non è applicabile se ci sono \(det=0\) quindi come si può arrivare al risultato ugualmente?

\(\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1/2 \\
0 & 0 & 1/2 & 0 \\
\end{pmatrix}\)

e vedi subito che la sequenza è + - 0 +

Chiarissimo.
Grazie 1000

[GIMUSI]

Non capisco perché non è indispensabile, so che Sylvester non è applicabile se ci sono \(det=0\) quindi come si può arrivare al risultato ugualmente?
...

intendevo dire che non è indispensabile riordinare le variabili, basta prendere i minori nell'ordine giusto

l'importante è che ti sia chiaro che una volta giunto alla sequenza +-0+, visto che il determinante della matrice è positivo, quel valore nullo non può essere un + ma necessariamente un -

sull'estensione di Sylvester ai casi con zeri se ne è parlato qui

Forme quadratiche 1

prova a darci un'occhiata credo possa essere molto utile

[zio_mangrovia]

Grazie di nuovo per il grosso aiuto che mi hai dato.