calcolo autovettori con autovalore generico

[ss420]

Data la matrice

\(A=\begin{pmatrix}
-1 & 2/3 & 0 \\
1 & 1/3 & 1/2 \\
1 & 1/3 & -1/2
\end{pmatrix}\)

associata ad un endomorfismo, si vogliono trovare autovalori e autovettori.
Il polinomio caratteristico è \(p(x)=-(x+1)(x^2+\frac{1}{6}x-1)\) e gli autovalori sono \(\lambda _0=-1, \lambda _1=\alpha, \lambda _2=\beta\) dove \(\alpha\) e \(\beta\) sono le radici di \(x^2+\frac{1}{6}x-1\).
Il primo autovettore è \((1,0,-2)\), mentre per gli altri due bisogna risolvere i sistemi \((A-\lambda _{1,2} I)X=0\).
Se \(\lambda = \lambda _{1,2}\), le matrici dei due sistemi coincidono:

\(\begin{pmatrix}
-1-\lambda & 2/3 & 0 \\
1 & 1/3-\lambda & 1/2 \\
1 & 1/3 & -1/2-\lambda
\end{pmatrix}\)

Come faccio a risolvere i due sistemi? Dovrei ridurre la matrice applicando l'algoritmo di Gauss? Se sì, come?

[GIMUSI]

è una caso semplice di calcolo degli autovalori tutti distinti con A digonalizzabile, il tutto reso un po' complicato per via delle maledette radici

allego qui lo svolgimento che consente di non dover risolvere tutto il sistema

non mi è chiaro il tuo discorso sui lambda e sui sistemi coincidenti

se hai dubbi ti consiglio di svolgere gli esercizi sulle "forme canoniche" discusse ampiamente anche qui in vari thread