Algoritmo forma di Jordan complessa => Jordan reale

[Valerio]

Nella lezione 47 di AL 14/15, nell'esempio 5 non ho capito come si costruisce il sistema del 1° modo, ovvero perchè Av1=2v1-v2 e Av2=v1+2v2. Dalla teoria sulle matrici associate alle appl. lin. è chiaro che f(v1)=2v1-v2 e f(v2)=v1+2v2 ( con f che ha associata la matrice N^(-1)AN) ma non riesco a capire perchè f(v1)=Av1 e f(v2)=Av2. Grazie per la gentile attenzione.

[Valerio]

Ho cercato di risolvere questo dubbio da solo ripassandomi l'argomento sui cambi di base e matrici associate alle applicazioni lineari ( confermando la mia sensazione e cioè che mi ricordavo la teoria in questione abbastanza bene) e andando a vedere la lezione 58 di AL13/14 (vedere infondo alla pag.2). Il fatto è che sono giunto alla conclusione che sia tutto un problema di notazioni e cioè che la matrice A che realizza A(v1)= 2(v1)-(v2) non sia più la matrice A scritta all'inizio dell'esercizio 5 ma sia proprio la matrice di Jordan reale. Vedendo la jordan reale come la nuova matrice A allora tutto diventa ovvio. E' giusto?

[Massimo Gobbino]

Boh, in realtà non capisco nemmeno bene la domanda. La cosa deve essere sostanzialmente ovvia.

Se una matrice A di dimensione 3x3 (piena di tutto) ha autovalori 7, 9, 12, allora una base \(v_1,v_2,v_3\) che diagonalizza la A ha la proprietà che

\(Av_1=7v_1,\quad Av_2=9v_2,\quad Av_3=12v_3.\)

Come si ottiene questo sistema? Volendo pensando alla matrice finale che deve essere diagonale. Nel caso di Jordan è uguale, se non che la matrice finale non è necessariamente diagonale. Ci sono esempi analoghi alla 41 e alla 42 di AL 14/15.

Spero che si capisca ...

[Valerio]

Allora credo di aver capito. La lettera A rappresentava all'inizio una matrice :

(5 -2) =A
(5 -1)
e dopo, nello svoglimento del 1° modo, ne rappresenta un' altra:
(2 1) =A
(-1 2)
.
O meglio rappresenta la stessa applicazione ma in una base diversa e dunque cambiano i numeri della matrice. Penso sia così

Ed è proprio usando la "seconda" matrice A che otteniamo A(v1)=2(v1)-(v2) e A(v2)=(v1)+2(v2).

Questo non mi tornava perchè inizialmente mi sembrava che la A delle 2 equazioni appena scritte fosse la "prima" A, ovvero
(5 -2) =A
(5 -1)

[Massimo Gobbino]

L'unico modo per essere sicuri di aver capito è di provare a fare i conti, cioè trovare esplicitamente la matrice di passaggio (magari in tutti e 3 i modi), controllando che venga quello che deve.