Estrarre una base da una famiglia di iperpiani affini?

[C_Paradise]

Ciao!
Studiando mi sono posto la seguente domanda:

Supponiamo di essere in [tex]K^n[/tex] dove [tex]K[/tex] è un campo. Siano [tex]Z_1,\cdots,Z_n \in K^n[/tex] non tutti nulli

Sia [tex]W \subset K^n[/tex] un sottospazio vettoriale di dimensione [tex]n-1[/tex]

Si considerino gli iperpiani affini di [tex]K^n[/tex] dati da [tex]Z_1+W,\cdots,Z_n+W[/tex]

Mi chiedevo se era sempre possibile trovare una base [tex]\mathcal{B}= \left\{X_1,\cdots,X_n\right\}[/tex] di [tex]K^n[/tex] tale che [tex]\forall i=1,\cdots,n\quad X_i \in Z_i+W[/tex]?

Io direi che è sempre possibile, ma non riesco a dimostrarlo

[Massimo Gobbino]

Io direi che è sempre possibile

Beh, se tutti gli [tex]Z_i[/tex] stanno in W la vedo dura ...

[C_Paradise]

Vero.. E aggiungendo l'ipotesi che almeno uno degli iperpiani affini sia effettivamente un traslato di un ssp vettoriale e non anche lui un ssp vett.?

[Massimo Gobbino]

Allora è tutta un'altra storia.

La vera ipotesi è che almeno uno degli [tex]Z_i[/tex] non sia in W.

[C_Paradise]

In effetti era quella l'ipotesi che volevo, ma mi sono espresso male. Con questa ipotesi sembrerebbe plausibile giusto? Se penso all'equivalente geometrico in [tex]\mathbb{R}^2[/tex] mi convinco della veridicità della "congettura", avevo pensato a una dimostrazione per induzione su [tex]n[/tex], ma forse si possono fare ragionamenti più "geometrici"..