Applicazioni lineari 5

[Gabe]

Gimusi nell'esercizio 3 punto b, quando dici:

[tex]f(v_1)=\begin{pmatrix} 2a-1 \\ -2b+3 \\ 1 \\ d \end{pmatrix}[/tex] , [tex]f(v_2)=\begin{pmatrix} 0 \\ b-1 \\ 1-c \\ 0 \end{pmatrix}[/tex] [tex]\in V \rightarrow \begin{cases} 2a-1-2b+3+1=0 \\ 2a-1-d=0 \\ b-1+1-c=0 \\ 0=0 \end{cases}[/tex]

come fai a impostare il sistema a destra? ho provato a sostituire le componenti di [tex]f(v_1)[/tex] e [tex]f(v_2)[/tex] nella base di [tex]V: <(2, -2, 0, 1), (0, 1, -1, 0)>[/tex], ma non mi viene cosi

[GIMUSI]

Gimusi nell'esercizio 3 punto b, quando dici:

[tex]f(v_1)=\begin{pmatrix} 2a-1 \\ -2b+3 \\ 1 \\ d \end{pmatrix}[/tex] , [tex]f(v_2)=\begin{pmatrix} 0 \\ b-1 \\ 1-c \\ 0 \end{pmatrix}[/tex] [tex]\in V \rightarrow \begin{cases} 2a-1-2b+3+1=0 \\ 2a-1-d=0 \\ b-1+1-c=0 \\ 0=0 \end{cases}[/tex]

come fai a impostare il sistema a destra? ho provato a sostituire le componenti di [tex]f(v_1)[/tex] e [tex]f(v_2)[/tex] nella base di [tex]V: <(2, -2, 0, 1), (0, 1, -1, 0)>[/tex], ma non mi viene cosi

le componenti di [tex]f(v_1)[/tex] e [tex]f(v_2)[/tex] devono soddisfare la definizione di [tex]V[/tex]

[Gabe]

Giusto , grazie mille!

[Balengs]

Ciao GIMUSI,

sto svolgendo questa parte degli esercizi e non riesco a capire lo svolgimento del punto a) - esercizio n°4.

In pratica quando bisogna dimostrare che esiste un'applicazione che verifica la 2a condizione [tex]f(f(w))=0 \forall w \in W[/tex],
tu scrivi

[tex]f(f(w))=0 \ \forall w \in W \rightarrow f(f(w_{1} + f(w_{2}) \dots[/tex]

e già qui mi chiedo perché non dovrebbe essere [tex]f(f(aw_{1} + f(bw_{2})[/tex] dato che stiamo parlando del generico [tex]w \in W[/tex]....

proseguendo dai puntini scrivi

[tex]\dots f(f(w_{1} + f(w_{2}) = f(1, -1, -1, 1) =f(w_{1} - w_{2}) = 0[/tex] con commento [tex]\{(w_{1} + (w_{2}), (w_{1} - w_{2})\}[/tex] sono una base di [tex]W[/tex], quindi [tex]f[/tex] esiste unica

perché [tex]f(w_{1} - w_{2})[/tex] dovrebbe dare 0 come risultato E perché è importante che [tex]\{(w_{1} + (w_{2}), (w_{1} - w_{2})\}[/tex] sono una base di [tex]W[/tex]

Ho dei dubbi anche sul punto C, ma potrebbero essere legati al fatto che non capisco il ragionamento nel summenzionato punto a) ... quindi vorrei vedere se il tuo aiuto riesce a dirimerli "in un colpo solo"

Grazie in anticipo per qualsiasi chiarimento sei in grado di fornirmi.

[GIMUSI]

a parte la solita premessa che comincia ad essere passato un po' di tempo e certi ragionamenti mi riesce più difficile ricostruirli...direi che

tu scrivi

[tex]f(f(w))=0 \ \forall w \in W \rightarrow f(f(w_{1} + f(w_{2}) \dots[/tex]

forse ho saltato un passaggio che avrebbe reso la cosa più chiara; è da intendere così:

[tex]f(f(w))=0 \ \forall w \in W \rightarrow[/tex] [tex]f(f(w_{1}))+f(f(w_{2}))=f(f(w_{1}) + f(w_{2}))=0[/tex]

e già qui mi chiedo perché non dovrebbe essere [tex]f(f(aw_{1} + f(bw_{2})[/tex] dato che stiamo parlando del generico [tex]w \in W[/tex]....

spero che ora il ragionamento sia più chiaro, sul generico vettore dirò qualcosa dopo

proseguendo dai puntini scrivi

[tex]\dots f(f(w_{1} + f(w_{2}) = f(1, -1, -1, 1) =f(w_{1} - w_{2}) = 0[/tex] con commento [tex]\{(w_{1} + (w_{2}), (w_{1} - w_{2})\}[/tex] sono una base di [tex]W[/tex], quindi f esiste unica

perché f(w_{1} - w_{2} dovrebbe dare 0 come risultato E perché è importante che [tex]\{(w_{1} + (w_{2}), (w_{1} - w_{2})\}[/tex] sono una base di [tex]W[/tex]

per il teorema di struttura delle applicazioni lineari (vd. lez. 16), una volta che si stabilisce dove va una base di W l'applicazione è univocamente determinata

tornando al vettore generico, si può verificare facilmente (io non l'ho fatto ma puoi provare tu) che per un generico vettore di W vale la proprietà [tex]f(f(w))=0[/tex]

[Balengs]

Ho visto la tua risposta e volevo ringraziarti per il tuo aiuto , non appena a casa me la leggo per bene e vedo se mi è tutto chiaro o se ho ancora qualche dubbio.

[GIMUSI]

Ho visto la tua risposta e volevo ringraziarti per il tuo aiuto , non appena a casa me la leggo per bene e vedo se mi è tutto chiaro o se ho ancora qualche dubbio.

tieni conto del fatto che la condizione [tex]f(f(w))=0[/tex] si può imporre su un qualsiasi vettore di W che formi una base con [tex]w_1+w_2[/tex]

io ne ho scelto uno tra i tanti e non ti saprei nemmeno dire il perché

[GIMUSI]

Ho visto la tua risposta e volevo ringraziarti per il tuo aiuto , non appena a casa me la leggo per bene e vedo se mi è tutto chiaro o se ho ancora qualche dubbio.

tieni conto del fatto che la condizione [tex]f(f(w))=0[/tex] si può imporre su un qualsiasi vettore di W che formi una base con [tex]w_1+w_2[/tex]

io ne ho scelto uno tra i tanti e non ti saprei nemmeno dire il perché

ah ecco...ho utilizzato proprio quella condizione per sfruttare il fatto che si sappiamo che [tex]f(w_1)+f(w_2)=w_1-w_2[/tex]