Sottospazi vettoriali 4

[Massimo Gobbino]

Occhio che nel (3b) hai imposto soltanto [tex]p(\sqrt{2})=p(-\sqrt{2})[/tex], mentre la condizione data diceva anche che entrambi devono essere uguali a 0. Ed infatti i vettori della base che hai trovato non verificano la condizione ...

Per questo è importante che qualcuno controlli ... Ma non li ha fatti proprio nessuno?

[GIMUSI]

Occhio che nel (3b) hai imposto soltanto [tex]p(\sqrt{2})=p(-\sqrt{2})[/tex], mentre la condizione data diceva anche che entrambi devono essere uguali a 0. Ed infatti i vettori della base che hai trovato non verificano la condizione ...

Per questo è importante che qualcuno controlli ... Ma non li ha fatti proprio nessuno?

ho verificato che soddisfacessero la condizione [tex]p(\sqrt{2})=p(-\sqrt{2})[/tex]...lo zero lo avevo proprio perso

[Massimo Gobbino]

ho verificato che soddisfacessero la condizione [tex]p(\sqrt{2})=p(-\sqrt{2})[/tex]...

Già, ed inoltre una sola condizione avrebbe voluto dire una sola equazione, quindi la dimensione non poteva comunque scendere di 2

[Gabe]

Gimusi non capisco nell'esercizio 4 d come fai a dire che la dimensione di [tex]W[/tex] è [tex]2[/tex] ecome hai fatto a trovare la dimensione e una base di [tex](V+W)[/tex] e [tex](W \cap V)[/tex],

Io per dire che la [tex]dim(W)=2[/tex] ho scritto la matrice [tex]B[/tex] come vettore colonna, idem la matrice [tex]B^t[/tex], poi ho visto che il rango è uguale a [tex]2[/tex], ma non sono sicuro che sia un metodo valido.

Mentre per trovare la dimensione di [tex](V+W)[/tex] ho fatto il "matricione" con al posto delle righe le matrici della base di [tex]V[/tex] scritte come vettori più le matrici [tex]B[/tex] e [tex]B^t[/tex] sempre scritte come vettori, ho Gaussizato ed ho visto che il numero dei pivot è [tex]7[/tex], per la base di [tex](V+W)[/tex] ho preso le matrici della base di [tex]V[/tex] e la matrice [tex]B[/tex] della base di [tex]W[/tex].

Per Grassman la dimensione di [tex](V \cap W)[/tex] è 1, per trovare la base ho impostato il sistema:

[tex]av_1+bv_2+cv_3+dv_4+ev_5+fv_6-gv_7-hv_8=0[/tex], indicando con [tex]v_1,......., v_6[/tex] le matrici della base di [tex]V[/tex] scritte come vettori colonna, e con [tex]v_7, v_8[/tex] le matrici della base di [tex]W[/tex] sempre scritte come vettori colonna, però mi vengono due parametri liberi e non mi torna come a te

[GIMUSI]

premetto che è trascorso un po' di tempo e diventa sempre più difficile per me ricostruire i singoli passaggi...ci provo sperando di non dire troppe sciocchezze...

Gimusi non capisco nell'esercizio 4 d come fai a dire che la dimensione di [tex]W[/tex] è [tex]2[/tex] ecome hai fatto a trovare la dimensione e una base di [tex](V+W)[/tex] e [tex](W \cap V)[/tex],

Io per dire che la [tex]dim(W)=2[/tex] ho scritto la matrice [tex]B[/tex] come vettore colonna, idem la matrice [tex]B^t[/tex], poi ho visto che il rango è uguale a [tex]2[/tex], ma non sono sicuro che sia un metodo valido.

le due matrici non sono multiple tra loro (quindi linearmente indipendenti) e questo si verifica immediatamente; il tuo procedimento "sistematico" è corretto ma in un caso del genere mi pare non necessario

Mentre per trovare la dimensione di [tex](V+W)[/tex] ho fatto il "matricione" con al posto delle righe le matrici della base di [tex]V[/tex] scritte come vettori più le matrici [tex]B[/tex] e [tex]B^t[/tex] sempre scritte come vettori, ho Gaussizato ed ho visto che il numero dei pivot è [tex]7[/tex], per la base di [tex](V+W)[/tex] ho preso le matrici della base di [tex]V[/tex] e la matrice [tex]B[/tex] della base di [tex]W[/tex].

la prima parte del tuo procedimento mi pare corretto; la scelta della base è sicuramente corretta se hai preso le matrici/vettori corrispondenti ai pivot

io ho osservato che [tex]B+B^t[/tex] è simmetrica (erroneamente in posizione 1,1 ho messo un 2 al posto di un 4 ma il discorso non cambia) quindi è esprimibile secondo la base di [tex]V[/tex]; visto che fra le 8 matrici/vettori delle basi dei due sottospazi esiste una relazione di dipendenza la dimensione della loro unione è 7; per la base le scelte possibili sono molteplici, l'essenziale è che fra i 7 ci sia [tex]v_2[/tex]

Per Grassman la dimensione di [tex](V \cap W)[/tex] è 1, per trovare la base ho impostato il sistema:

[tex]av_1+bv_2+cv_3+dv_4+ev_5+fv_6-gv_7-hv_8=0[/tex], indicando con [tex]v_1,......., v_6[/tex] le matrici della base di [tex]V[/tex] scritte come vettori colonna, e con [tex]v_7, v_8[/tex] le matrici della base di [tex]W[/tex] sempre scritte come vettori colonna, però mi vengono due parametri liberi e non mi torna come a te

il procedimento dovrebbe essere corretto, forse hai commesso qualche errore nei passaggi

nel caso del mio svolgimento, nota la dimensione dell'intersezione per grassmann, è evidente che una base è costituita dalla matrice simmetrica [tex]B+B^t[/tex]

in conclusione direi che i procedimenti che hai utilizzato, di tipo sistematico, sono corretti; diciamo che in un caso del genere forse non sono del tutto indispensabili ed efficienti, nel senso che allungano i tempi di svolgimento; alcune cose infatti si possono vedere immediatamente e vederle subito può aiutare a scovare anche eventuali errori che dovessero verificarsi nella risoluzione sistematica

[Gabe]

Non mi è molto chiaro il fatto per cui se la matrice [tex]B+B^t[/tex] è simmetrica, puoi fare tutte quelle cose li, dipende dal teorema spettrale?

[GIMUSI]

Non mi è molto chiaro il fatto per cui se la matrice [tex]B+B^t[/tex] è simmetrica, puoi fare tutte quelle cose li, dipende dal teorema spettrale?

che [tex]B+B^t[/tex] sia simmetrica lo si constata direttamente...ed è vero in generale (per matrici quadrate) infatti:

[tex](B+B^t)^t=B^t+B[/tex]

tornando al metodo di risoluzione, quando ho fatto l'esercizio ero molto più nell'argomento ed evidentemente certe deduzioni mi sono sembrate evidenti per cui ho evitato di utilizzare metodi sistematici

[Balengs]

... Scusa GIMUSI ma io non proprio ho capito come affrontare i punti 3 e 4 di questo esercizio
In particolare
- per quanto riguarda i polinomi, non so proprio come procedere... ho visto le soluzioni ma non capisco il modo di ragionare!
- per quanto riguarda le matrici, fintanto che si tratta di cercare la dimensione di V e di W mi riduco a risolvere un sistemone. Quale modo alternativo posso usare? Poi per trovare la dimensione di W + V e di W ∩ V non ho capito il modo di procedere nelle soluzioni? Come si trova la base?

In allegato il mio (unico) svolgimento sul 1° punto A delle matrici

[GIMUSI]

... Scusa GIMUSI ma io non proprio ho capito come affrontare i punti 3 e 4 di questo esercizio
In particolare
- per quanto riguarda i polinomi, non so proprio come procedere... ho visto le soluzioni ma non capisco il modo di ragionare!
- per quanto riguarda le matrici, fintanto che si tratta di cercare la dimensione di V e di W mi riduco a risolvere un sistemone. Quale modo alternativo posso usare? Poi per trovare la dimensione di W + V e di W ∩ V non ho capito il modo di procedere nelle soluzioni? Come si trova la base?

In allegato il mio (unico) svolgimento sul 1° punto A delle matrici

premesso che sono sempre più arrugginito e potrei dire qualche sciocchezza... direi che

i polinomi di grado minore o uguale a 4 sono uno spazio vettoriale di dimensione 5 con base (canonica):

[tex]x^4,x^3,x^2,x^1,1[/tex]

quindi in termini di vettori

[tex]x^4[/tex] corrisponde a [tex]e_1=(1,0,0,0,0)[/tex]
…

[tex]1[/tex] corrisponde a [tex]e_5=(0,0,0,0,1)[/tex]

detto questo non hanno nulla di speciale e si trattano come gli altri spazi vettoriali; dalle definizioni di p(x) si determinano le basi dei sottospazi
dalle basi si deduce la base/dimensione di V+W; in questi esercizi si vedono a occhio; altrimenti puoi impostare il sistemone:
- si mettono i vettori delle due basi come vettori riga in un matricione
- applicando gauss vedi se sono o meno indipendenti e determini i pivot
- i vettori corrispondenti ai pivot sono la base di V+W (puoi prendere quelli pre gauss o post gauss giacché le operazioni per riga non modificano lo span)

poi da Grassmann si trova subito la dimensione di [tex]V\cap W[/tex]; la base in questi esercizi si vedono a occhio; se non la vedi ti tocca impostare il sistemone (come per gli spazi vettoriali "normali")

per le matrici quello che hai fatto va bene, forse non c’era bisogno di impostare i sistemi ma se ti senti più sicuro così ok
determinate le basi di V e W il primo problema è individuare la base di V+W; quando ho fatto gli esercizi mi veniva facile vederle rapidamente a occhio, ora un po’ meno; se non le vedi a occhio si può procedere impostando anche in questo caso il sistemone:
- si mettono le matrici delle due basi come vettori riga in un matricione
- applicando gauss vedi se sono o meno indipendenti e determini i pivot
- i vettori/matrici corrispondenti ai pivot sono la base di V+W

per [tex]V\cap W[/tex] vale quanto detto in precedenza

[Balengs]

Ciao GIMUSI,
ti ringrazio ancora per il tuo aiuto. Con i polinomi ho risolto ed è effettivamente una banalità. Mi restano ancora delle perplessità circa le matrici.
In particolare

per le matrici quello che hai fatto va bene, forse non c’era bisogno di impostare i sistemi ma se ti senti più sicuro così ok

Infatti... è piuttosto laborioso ... potresti dirmi qual è un metodo più efficiente per trovare le basi di V e W

determinate le basi di V e W il primo problema è individuare la base di V+W; quando ho fatto gli esercizi mi veniva facile vederle rapidamente a occhio, ora un po’ meno; se non le vedi a occhio si può procedere impostando anche in questo caso il sistemone:
- si mettono le matrici delle due basi come vettori riga in un matricione
- applicando gauss vedi se sono o meno indipendenti e determini i pivot
- i vettori/matrici corrispondenti ai pivot sono la base di V+W

per V\cap W vale quanto detto in precedenza

Ho fatto come mi hai detto tu ma mi viene un matricione 9x9!?!!? E' facilissimo sbagliare già solo ricopiando e applicando Gauss ogni volta... Non esistono altri metodi più affidabili e rapidi? Come hai ragionato tu in quell'esercizio?
Nelle soluzioni (1° esercizio) tu scrivi, dopo aver assegnato "nomi" v1,...,v6 agli elementi della base di V e e w1,w2,w3 agli elementi della base di W

[tex]Base \{e1,...,e9\} :[/tex]

[tex]\(e1=v1\)[/tex]

[tex]\(e2=v2\)[/tex]

[tex]\(e3=v3\)[/tex]

[tex]\(e4=\frac{1}{2}}(v1+w1)\)[/tex]

[tex]\(e5=\frac{1}{2}}(v5+w2)\)[/tex]

[tex]\(e6=\frac{1}{2}}(v6+w3)\)[/tex]

[tex]\(e7=\frac{1}{2}}(v4-w1)\)[/tex]

[tex]\(e8=\frac{1}{2}}(v5-w2)\)[/tex]

[tex]\(e9=\frac{1}{2}}(v6-w3)\)[/tex]

...potresti chiarirmi il tuo ragionamento in tale frangente?

Ho anche cercato negli appunti delle lezioni ... ma non credo di aver trovato uno "svolgimento campione" relativo al problema con le matrici... ma forse non sono stato attento.
Grazie in anticipo per qualsiasi aiuto che puoi fornirmi.

[GIMUSI]

...potresti chiarirmi il tuo ragionamento in tale frangente?

si vede immediatamente i vettori [tex]w_i[/tex] sono indipendenti dai [tex]v_i[/tex] (gli uni son antisimmetrici, gli altri simmetrici)

pertanto il loro insieme (6+3=9) è una base per[tex]V+W[/tex] (equivalente alla base canonica degli [tex]e_i[/tex])

esplicitare la combinazione che fornisce gli [tex]e_i[/tex] non è indispensabile ai fini dell'esercizio

anche per gli altri esercizi ho fatto ragionamenti simili...nulla di sofisticato insomma